Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» часть 2 тройные и криволинейные интегралы, их приложения (стр. 2 )

Таким образом, . Из условия ясно, что для Область V определится неравенствами Тогда:

Ответ:

Замечания

1. Область V изображена на рис. 4.

2. В связи с тем, что пределы по z постоянны (0≤z≤1) по условию, интегрирование по z можно было произвести на любом этапе (при решении задачи 1.1 отдано предпочтение первоочередному интегрированию по z):

3. Задание постоянных пределов изменения x (а не y) существенно влияет на характер решения. На это обращалось внимание и ранее, не забывайте об этом и впредь.

Пример 1.2. V: x=2, x=0, y= -1, y=0, z=2, z=0.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже (рис.5).

Согласно условию: Имеем:

Ответ:

Замечания

1.  Задание области V (рис.5) создает впечатление, что порядок интегрирования может быть выбран произвольным. Но следует также учесть вид подынтегральной функции и увидеть (нужен практический опыт!), что в "худшем" (в смысле интегрирования) положении находится переменная y (подынтегральная функция содержит y2e-xyz), в чуть "лучшем" – z (под интегралом – ze-xyz) и в "хорошем" (по сравнению с y и z) – x(e-xyz). Из этих соображений при решении задачи и выбран порядок интегрирования: сначала по x, затем по z и, наконец, по y. Запомните такой подход. Он не является универсальным, но хорошо "работает" во многих случаях. Безусловно, каждая задача может иметь свои особенности и с ними нужно считаться.

2. При интегрировании по x имеем: d(-xyz)=(-xyz)'xdx=-yzdx

. Обратите внимание на допустимость и такой записи.

3. При интегрировании по z дифференциал d(-2yz)=(-2yz)'zdz=-2ydz .

Пример 1.3. V: y=x, y=0, x=1, z=x2+15y2, z=0.

Решение: Уравнение y=x, y=0, x=1 в пространстве определяют плоскости: y=0 – уравнение плоскости xOz; x=1 – плоскости, параллельной координатной плоскости yOz; y=x – уравнение плоскости, проходящей через ось Oz. В плоскости xOy эти уравнения определяют прямые, по которым указанные выше плоскости пересекаются с плоскостью xOy. Построим эти прямые (рис.6).

Эллиптический параболоид z=x2+15y2 имеет с плоскостью z=0 одну общую точку О (0,0,0). Проекцией тела V на плоскость xOy является область D (рис. 6).

В этой области Учитывая, что для координата z удовлетворяет условию , получаем:

6

Ответ: 13.

Замечание. Область V, по которой вычислен интеграл в примере 1.3 изображена на рис.7.

Пример 1.4.

V: x=0, y=0, z=0.

Решение: Область V, ограниченная координатными плоскостями x=0, y=0, z=0 и плоскостью , отсекающей на осях координат Ox, Oy, Oz отрезки а=8, b=3, с=5 соответственно, изображена на рис. 8 (треугольная пирамида).

Проекция D области V на плоскость xOy ограничена осями Ox, Oy и прямой пересечения плоскостей и z=0 - в плоскости xOy.

Из уравнения находим y=3(1-), из уравнения . В результате совершенных действий определились границы изменения переменных: . Таким образом:

Ответ: -24.

Замечание. Пример 1.4 – одна из многих нехарактерных задач, в которых переменные "равноправны" в смысле выбора порядка интегрирования: ни один из шести способов расстановки пределов (по x, y, z; x, z, y; y, x, z; y, z, x; z, x, y; z, y, x) не имеет преимущества перед остальными. Этим замечанием обращаем ваше внимание на то, что порядок интегрирования (один из шести) может быть выбран любой, но наиболее упрощающий вычисление интеграла.

Пример 1.5. где область V ограничен плоскостями x=0, y=0, z=2 и частью параболоида вращения , расположенного в первом октанте.

Решение: Тело V изображено на рис.9.

Это тело проектируется на плоскость хОу в область D, которая является четвертью круга. Действительно, решим систему и установим, что область D ограничена в первой четверти осями Ох, Оу и окружностью .

Поскольку подынтегральное выражение содержит сумму квадратов и область D является частью круга, то для упрощения решения задачи целесообразно ввести цилиндрические координаты. В области D полярный угол изменяется от 0 до : .

Уравнение окружности преобразуем к полярным координатам: Следовательно, в области D имеем: . Уравнение параболоида вращения в координатах примет вид: или . В области V . Тогда на основании формулы (4) имеем: