.
Ответ: 
Пример 1.6. 
Область V ограничена круговым цилиндром 
и плоскостями z=0, z=1 (рис.10).
Решение: Полагая 
, перейдем в заданном интеграле к цилиндрическим координатам: 
. Областью D является круг 
Очевидно. что 
. Тогда:
Ответ: 
.
2. Приложения тройных интегралов
Объем v, тела занимающего область V, вычисляется по формуле:
. (5)
Если плотность 
тела V непрерывно меняется от точки к точке, то масса тела определяется так:
(6)
При необходимости в (5) и (6) переходят к цилиндрическим координатам. При этом, например, формула (5) принимает вид:
(7)
Задача 2. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
Пример 2.1. 
Решение: Тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью 
и параболическим цилиндром 
(рис.11).
Область D, являющаяся проекцией тела V на плоскость хОу, ограничена прямой и осями координат Ох и Оу. Для нахождения объема применим формулу (5), учитывая, что в области V переменные x, y, z изменятся следующим образом: 
Получаем:
.
Ответ. 2 куб. ед.
Пример 2.2. 
Решение: Тело ограничено снизу и сверху соответственно эллиптическими параболоидами с осью симметрии, параллельной Оz: 
с вершиной в точке (0;-
;
) и 
с вершиной в точке (0;-;
); с боков - параболическим цилиндром 
, образующая которого параллельна Оz, и плоскостью x=6, параллельной yOz (рис. 12).
Это тело проектируется на плоскость хОу в область D, ограниченную параболой и прямой х=6. Найдем точки пересечения этих линий: 
Таким образом, объем тела равен:
Ответ: 16.
Пример 2.3. 
Решение: Область V, которую занимает заданное тело, ограничена снизу и сверху соответственно полуконусами с осью симметрии Оz:
с вершиной (0; 0; -1) и 
с вершиной (0; 0; 2). 
- параболический цилиндр с образующей, параллельной Оz и y=-3 – плоскость, параллельная xOz. Тело, изображенное на рис.13, проектируется на xOy в область, ограниченную параболой 
и прямой 
.
Найдем точки пересечения последних: 
Следовательно:
Ответ: 8.
Замечания
1. 
- конус с вершиной 
- две части конуса (два полуконуса).
2. В задачах 2.2 и 2.3 построение тел, безусловно, вызовет затруднение. Из-за стремления не загромождать чертежи не показаны вершины и сечения координатными плоскостями параболоидов и конусов, т. е. дано схематическое изображение тел. Учтите, что для нахождения объема тела достаточно было ограничиться изображением области D (проекции тела V– на плоскость xOy).
3. При нахождении точек пересечений заданных линий мы зачастую ограничиваемся значениями либо только абсцисс, либо ординат. Этого достаточно для решения задачи.
Пример 2.4. 
Решение: Данное тело ограничено снизу полуконусом 
, сверху – параболоидом вращения 
(рис.14).
Ясно, что эти поверхности пересекутся по окружности, поэтому целесообразно перейти к цилиндрическим координатам, полагая 
В этих координатах уравнения поверхностей примут вид : 
. Найдем уравнение окружности пересечения конуса и параболоида: 
Следовательно, проекцией D тела на xOy является круг 
Тело симметрично относительно xOz, yOz, поэтому найдем объем четвертой части тела, воспользовавшись формулой (7). Учитывая, что 
,
, получаем:
Ответ: 
.
Пример 2.5. 
Решение: Область V ограничена снизу полуконусом 
, сверху – полусферой 
, которые пересекаются по окружности. Проекцией тела на xOy является круг (рис.15), функции z зависит от 
, поэтому для решения поставленной задачи имеет смысл ввести цилиндрические координаты, использовав формулу 
.
Тогда уравнения поверхностей преобразуются к виду 
и 
. Найдем линию пересечения сферы и конуса: 
Если вычислять объем четверти тела, то для нее 
. На основании (7):
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
