Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» часть 2 тройные и криволинейные интегралы, их приложения (стр. 1 )

МПС РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

¢¢Ростовский государственный университет путей сообщения¢¢

Министерства путей сообщения Российской федерации

(РГУПС)

, ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ:

«КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»

ЧАСТЬ 2

ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ростов-на-Дону

2003

УДК 512.2 (075.6)

и др

Методические указания к выполнению типового расчёта по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» Ч.2. Тройные и криволинейные интегралы, их приложения / , , . - Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2003.-36с.

Приводятся необходимые теоретические сведения и методика вычисления кратных интегралов в декартовых и цилиндрических координатах, приложения тройного интеграла к вычислению объемов и масс тел; вычисление криволинейных интегралов I и II рода, их применение к определению площади плоской фигуры, массы плоской гладкой дуги кривой, работы переменной силы на криволинейном участке пути; нахождение функции по ее полному дифференциалу и решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

Одобрены к изданию кафедрой «Высшая математика - I» РГУПС и предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей.

Ил. 20; Библиогр. 5 назв.

Рецензенты: канд. физ. - мат. наук, доц. (РГУ); канд. техн. наук, доц. (РГУПС)

КРУЧИНИНА Екатерина Владимировна

СТАДНИК Людмила Николаевна

Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» Часть 2

Тройные и криволинейные интегралы, их приложения

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано к печати 28.12.02. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,09.

Уч.-изд. л 2,0. Тираж 100. Изд № 84. Заказ № 000.

Цена договорная.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2.

© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

1. Вычисление тройных интегралов

2. Приложение тройных интегралов.

3. Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода)

4. Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

5. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Рекомендуемая литература

1. Вычисление тройных интегралов

Пусть V-ограниченная замкнутая пространственная область, в которой определена и непрерывна функция f(x, y,z). Если область V произвольным образом разбить на n элементарных подобластей DVk c диаметрами dk,k=1,2,…,n, произвольно выбрать точки , вычислить и составить произведение ×DVk, то тройной интеграл от функции f(x, y,z) по области V определяется равенством:

, где . (1)

Сумму в правой части (1) называют трехмерной интегральной суммой. Предполагается, что предел интегральных сумм в (1) не зависит от способа разбиения области V и выбора точек Мк. Можно доказать, что тройной интеграл от функции f(x ,y, z), непрерывной в области V, существует.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. В декартовых прямоугольных координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

где - дифференциал объема.

Область V назовем правильной в направлении оси Oz, если она проектируется на плоскость xOy в области D так, что всякая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку , пересекает границу области V только в двух точках. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов.

Если область V ограничена сверху поверхностью z=ψ2(x, y), снизу – z=ψ1(x, y), с боков – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Оz (рис.1),

то при выполнении условия: для тройной интеграл равен:

. (2)

В (2) внутренний интеграл берется по переменной z в пределах от до при фиксированных по произвольным в области D значениям x, y. Результатом такого интегрирования является некоторая функция от x, y, которая затем интегрируется по области D.

Записывая двойной интеграл по области D через один из повторных интегралов, получаем:

(3)

Предполагается, что функции до непрерывны для , а , непрерывны при

Трехкратное интегрирование в (3) производится «изнутри» (справа налево): сначала по z при фиксированных , затем по y в пределах от до при фиксированном , наконец, по x в пределах от a до b.

При затруднении вычислить тройной интеграл в декартовых координатах может возникнуть необходимость в переходе к новым переменным. В частности, если декартовы координаты (x, y, z) связаны с новыми координатами (r, φ, z) равенствами где то координаты (r, φ, z) называют цилиндрическими (рис.2).

Формула преобразования тройного интеграла к цилиндрическим координатам имеет вид:

(4)

Замечания

1. Запомните, что в интегралах вида (2), как правило, постоянные пределы интегрирования имеет только внешний интеграл. В частном случае, когда V – прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, постоянные пределы будут иметь все три интеграла:

если V ограничена плоскостями x=a, x=b, y=c, y=d, z=p, z=q.

1.  При вычислении тройного интеграла, если это вызывает затруднения, можно обойтись без построения тела V. Достаточно построить его проекцию D на плоскость xOy и для произвольной точки по уравнениям поверхностей установить границы изменения z.

2.  При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах постоянные пределы интегрирования выбирают для полярного угла φ. Так, если область интегрирования V задана неравенствами то тройной интеграл в правой части (4) сведется к трехкратному интегрированию следующим образом:

Задача 1. Вычислить

Пример 1.1.

Решение: Уравнения в пространстве определяют плоскости. Если же их рассматривать применительно к плоскости xOy, то получим прямые. Построив их, найдем область D – проекцию тела V на xOy (рис.3).