Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» часть 2 тройные и криволинейные интегралы, их приложения (стр. 6 )

Пример 7.2. где L – периметр треугольника OAB: O(0;0), A(1;0), B(0;1) (рис.19).

Решение: На основании свойств криволинейных интегралов имеем:

На ОА поэтому:

Уравнение прямой AB имеет вид: Тогда имеется от 1 до 0 и:

На ВО: изменяется от 1 до 0. При этом:

Используя полученные результаты, получим, что:

Ответ: 0.

Пример 7.3. L – участок линии от точки А до точки В,

Решение: Находим Тогда:

Ответ: 0.

Задача 8. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии AB:

Решение: Согласно условию

Тогда на основании формулы (16) работа

На линии L поэтому:

Ответ:

Задача 9. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение: Для нахождения искомой площади применим формулу (15). Найдем Учитывая, что вычислим площадь (рис.20):

Ответ: кв. ед.

5. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

Пусть функции непрерывны вместе с частными производными и в некоторой замкнутой ограниченной области D и выражение является полным дифференциалом некоторой функции

Тогда функция находится по формуле:

(18)

где - некоторая фиксированная, - производная точка области D, C – производная постоянная.

Задача 10. Найти функцию по ее полному дифференциалу

Пример 10.1.

Решение: Согласно условию Положим и найдем Тогда на основании формулы (17) получаем:

где

Ответ:

Пример 10.2.

Решение: Имеем Пусть При этом Находим:

Первый из интегралов возьмем по частям, полагая Тогда:

Положим и окончательно найдем:

Ответ:

6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

(19)

называют дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция полный дифференциал, которой равен:

Тогда (19) примет вид: =const. (20)

Применяя формулу (18), найдем общее решение уравнения (19):

(21)

Задача 11. Решить дифференциальное уравнение:

Решение: Если то Формула (21) принимает вид:

Полагая находим общее решение исходного уравнения:

Ответ:

Рекомендуемая литература

1.  , Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. - М.: Наука, 1985.

2.  , , Матема-тический анализ в вопросах и задачах. - М.: Наука, Физматлит, 2000.

3.  Краткий курс математического анализа. Т2. - М.: Альфа, 1998.

4.  А., Садовничий В. А., Математический анализ. - М.: Наука, 1998.

5.  , , Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. - М.: Высшая школа, 1980.