Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» часть 2 тройные и криволинейные интегралы, их приложения (стр. 4 )

.

Ответ: .

Пример 2.6.

Решение: Область V ограничена параболоидом вращения с вершиной (-1; 0; 3) и осью симметрии, параллельной Oz, и плоскостью , проходящей параллельно оси Оу (рис.16).

Найдем линию пересечения поверхностей: - окружность радиусом 1. Так как проекцией области на плоскость хОу является круг, то вычислим объем в цилиндрических координатах. Уравнение окружности преобразуется к виду ; парабалоида: плоскости: . Область V опишется системой неравенств:

Тогда объем тела:

Ответ: .

Замечание. Обратите внимание, что наиболее трудоемким и важным является процесс описания области V неравенствами. Подходите к нему вдумчиво, спокойно, рассудительно: в правильности его осуществления – суть вопроса.

Задача 3. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти массу тела.

Пример 3.1.

Решение: Сфера и конус пересекаются при условии, что , так как Линией пересечения является окружность Тело изображено на рис.17.

Оно расположено в первом октанте и проектируется на хОу в четверть круга радиусом Введем цилиндрические координаты В области V координата изменяется от 0 до , то есть Имеем , следовательно, . Уравнения сферы и конуса преобразуются так: при условии На основании (6), находим:

Ответ:

Пример 3.2.

Решение: Условие означает, что тело расположено справа от плоскости хОz. В силу ограничения область V находится над плоскостью xOy. Она ограничена параболоидом вращения и круговым цилиндром, образующая которого параллельна оси Oz. Указанные поверхности пересекаются по окружности в плоскости z=4 (рис.18).

Переходим к цилиндрическим координатам:

Область V определяется неравенствами: Таким образом:

Ответ:

3. Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода)

Пусть функция определена и непрерывна в точках дуги AB гладкой кривой L, для которой Если дугу L произвольным образом разбить на n элементарных дуг на каждой из этих дуг произвольно выбрать точку вычислить и составить произведение так криволинейный интеграл I рода от функции по дуге L определится равенством:

(8)

где и предел в правой части (8) зависит ни от способа разбиения L на малые дуги, ни от выбора точки на каждой малой дуге.

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

Свойство 1.

Это свойство означает, это криволинейный интеграл по длине дуги не зависит от направления дуги интегрирования.

Свойство 2

Свойство 3. где - константа.

Свойство 4. Если и то

Вычисление криволинейного интеграла I рода производится следующим образом: используя уравнение линии интегрирования L, следует в подынтегральном выражении перейти к одной переменой, в полученном определенном интеграле расставить пределы и произвести интегрирование. Тогда, если L задана уравнениями:

1) то и

(9)

2) то и

где (10)

3) то и

(11)

С помощью криволинейного интеграла I рода можно находить длину дуги L:

(12)

Если то криволинейный интеграл выражает массу дуги L, имеющей плотность непрерывно изменяющейся от точки к точке:

(13)

Замечание. Если L - замкнутая линия, то пишут: