Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Кратные и криволинейные интегралы» часть 2 тройные и криволинейные интегралы, их приложения (стр. 5 )

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл если

Пример 4.1. L - дуга параболы от точки A(2;4) до точки B(1;1).

Решение: Найдем Тогда и на основании (9) имеем:

Ответ:

Пример 4.2. L - отрезок прямой от точки A(0;1) до точки B(1;3).

Решение: Составим уравнение прямой AB:

тогда

Ответ:

Пример 4.3. L - арка циклоиды:

Решение: Найдем

Тогда и на основании (10):

Ответ:

Пример 4.4. L - часть спирали Архимеда заключенная внутри круга

Решение: Так как то

Чтобы найти пределы интегрирования, решим систему уравнений:

Следовательно,

Ответ:

Задача 5. Найти длину дуги кривой L

Пример 5.1. L - дуга кривой между точками ее пересечения с осями координат.

Решение: Найдем значение при которых заданная линия пересекается с осями координат: если

то при получаем, что

Итак, Так как то

На основании (12) находим длину дуги:

Ответ:

Задача 6. Найти массу дуги кривой L с плотностью

Пример 6.1. L- участок линии между точки A(1;0) и B(e;1).

Решение. На основание формулы (12) масса Найдем

Так как то:

Ответ:

Пример 6.2. L- полуокружность

Решение: Так то

Ответ: 2.

4. Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

Рассмотрим функции и непрерывные на некоторой гладкой дуге L и составим так называемую интегральную сумму по координатам:

(14)

где - проекции элементарной дуги (см.(8)) на оси Ox и Oy соответственно, - произвольно выбранные точки на элементарной дуге.

Пусть Тогда криволинейный интеграл по координатам обозначается и определяется так:

(15)

При этом предел в правой части (15) не зависит от способа разбиения дуги L на части и выбора точек .

Криволинейный интеграл II рода обладает следующим свойствами:

Свойство 1.

Свойство 2.

Остаточные свойства аналогичны свойствам криволинейных интегралов I рода. Правило вычисления криволинейных интегралов II рода аналогично таковому для I рода. Если линия интегрирования L задана уравнениями:

1) то и тогда

2)

то и

С помощью криволинейных интегралов II рода можно вычислить:

1) работу силы на криволинейном участке пути L:

(16)

2) площадь S плоской фигуры ограниченной замкнутым контуром L:

(17)

Задача 7. Вычислить криволинейный интеграл

Пример 7.1.

где L – дуга кривой от точки O(0;0) до точки A(1;2).

Решение: Если то и тогда:

Ответ: