Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» (стр. 3 )

P(B3) = p1⋅p2⋅p3 = 0,5⋅0,6⋅0,8 = 0,24.

       Как и следует, сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице:

P(B0) + P(B1) + P(B2) + P(B3) = 0,04 + 0,26 + 0,46 + 0,24 = 1.

Условные вероятности поражения цели есть:

При всех трех промахах (событие B0) PB0(A) = 0 – поражение цели есть невозможное событие; При одном попадании (событие B1) PB1(A) = 0,3; При двух попаданиях (событие B2) PB2(A) = 0,6; При трех попаданиях (событие B3) PB3(A) = 1 – достоверное событие.

Вычислим полную вероятность события A по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B0)⋅PB0(A) + P(B1)⋅PB1(A) + P(B2)⋅PB2(A) + P(B3)⋅PB3(A)  =

= 0,04⋅0 + 0,26⋅0,3 + 0,46⋅0,6 + 0,24⋅1 = 0,594.

       Ответ: P(A) = 0,594.

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ)

ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств

       a) Определите и изобразите на рисунках множества A, B, A∪B, A∩B, A/B, B/A, AΔB: б) Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость предложенного утверждения.

a) A = {(x, y) ∈ R2: x ≤ y},  B = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ≤ 1};

б) (U\B)\(U\A) ⊂ A\B.

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≤ –x},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 1};

б) (U\A)\B = U\(A∪B).

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≤ x2},  B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y – 1)2 ≤ 1};

б) A\C ⊂ (A\B)∪(B\C).

a) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≥ 0},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≥ 1};

б) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C).

a) A = {(x, y) ∈ R2: y ≤ –x2},  B ={(x, y) ∈ R2: (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1};

б) Если A ⊂ B, то U\B ⊂ U\A.

а) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≤ 0},  B ={(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ≥ 1};

б) A∩B = U\((U\A)∪(U\B)).

a) A = {(x, y) ∈ R2: x ≥ y},  B = {(x, y) ∈ R2: 9x2 + y2 ≤ 36};

б) A∪B = A∪(AΔB).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x ≤ y},  B ={(x, y) ∈ R2: 4x2 + 9y2 ≥ 36};

б) A\B = A∩(AΔB).

а) A = {(x, y) ∈ R2: max{|x|, |y|} ≤ 1},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 1};

б) Если AΔB = A, то B = ∅.

a) A = {(x, y) ∈ R2: max{|x|, |y|} ≤ 2},  B= {(x, y) ∈ R2: y ≥ x + 1};

б) (A∪B)ΔC ⊂ (AΔC)∪(BΔC).

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≥ x2},  B = {(x, y) ∈ R2: y ≤ 4 – x2};

б) (AΔB)∪(BΔC) = (A∪B∪C)\(A∩B∩C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x ≤ –y},  B = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 2};

б) AΔB = (U\A)Δ(U\B).

а) A ={(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ≥ 3},  B = {(x, y) ∈ R2: max{|x|, |y|} ≤ 2};

б) AΔ(AΔB) = B.

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≤ –x2},  B = {(x, y) ∈ R2: (x – 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1};

б) (A\C)\(B\A) ⊂ A\C.

а) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≤ 0},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + (y + 1)2 ≥ 1};

б) (A\C)\(B\A) ⊂ (A\B)∪(B\C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≤ 0},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≥ 4};

б) (A\C) ⊂ (A\B)∪(B\C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≤ x2},  B = {(x, y) ∈ R2: (x – 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4};

б) Если U\B ⊂ U\A, то A ⊂ B.

а) A = {(x, y) ∈ R2: x2 ≤ y},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≥ 4};

б) A∩(BΔC) = (A∩B)Δ(A∩C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≥ 0},  B = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y – 2| ≥ 1};

б) AΔB ⊂ (AΔС)∪( BΔC).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x ≤ –y},  B = {(x, y) ∈ R2: (x – 2)2 + (y + 3)2 ≥ 1};

б) A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x ≤ y},  B = {(x, y) ∈ R2 : 9x2 + y2 ≤ 9};

б) (A\B)\C = (A\C)\(B\C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x ≥ y},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + 4y2 ≥ 4};

б) (A∩B)\C = (A\C)∩(B\C);

а) A = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ≤ 2},  B = {(x, y) ∈ R2: 9x2 + y2 ≥ 9};

б) Если C ⊂ A, то A\(B\C) = (A\B)∪C.

а) A = {(x, y) ∈ R2: max{|x|, |y|} ≤ 2},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + 1 ≤ y};

б) (AΔB)\C = (A\C)Δ(B\C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: max{|x|, |y|} ≤ 2},  B = {(x, y) ∈ R2: 4 – x2 ≥ y};

б) (A\B)∩C = (A∩C)\B.

а) A = {(x, y) ∈ R2: x⋅y ≤ 1},  B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9};

б) (A\B)∪C ⊃ (A∪C)\B.

а) A = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 4},  B = {(x, y) ∈ R2: (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4};

б) (A∪B)\C = (A\C)∪(B\C).

а) A = {(x, y) ∈ R2: |x| + |y| ≥ 4}, B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 16};

б) (A\B)\(A\C) = (A∩C)\(A∩B).

а) A = {(x, y) ∈ R2: y ≥ (x – 2)2},  B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 4};

б) (AΔB)\C = (A\(B∪C))∪(B\(A∪C)).

а) A = {(x, y) ∈ R2: x + y ≤ 3},  B = {(x, y) ∈ R2: (x – 1)2 + (y – 1)2 ≤ 9};

б) (A\B)∩C = (A∩C)\(B∩C).

ИДЗ-2. Элементы комбинаторики

а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

б) Решите комбинаторную задачу;

в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.

1. а) X = – ;

б) На конференции должны выступить 7 докладчиков. Сколькими способами можно составить списки выступлений ораторов?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них было не менее трех шестерок?

2. а) X = – ;

б) Сколько пятизначных телефонных номеров, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?

в) Имеются  5 путевок в Турцию и 7 – в Грецию. Сколькими способами можно отправить 9 туристов на отдых в Турцию или Грецию?

3. а) X = – ;

б) На книжной полке стоят 12 книг различных авторов. Сколькими способами можно взять с полки 7 книг?

в) Сколько различных трехбуквенных слов, в которых буквы не повторяются и есть только одна гласная буква, можно составить из букв а, б, в, г, е, ж?

4. а) X = – ;

б) Сколькими способами можно опустить 4 различных письма в 10 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

в) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «высота» так, чтобы все согласные стояли рядом?

5. а) X = + 2;

б) Сколькими способами могут быть распределены 5 контрамарок (билетов без указания места) на спектакль среди 12 учеников класса?

в) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6  так, чтобы каждое из этих чисел начиналось и заканчивалось четной цифрой?

6. а) X = + 2P5;

б) Сколькими способами можно расположить на книжной полке 7 различных книг?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт четыре карты так, чтобы ровно три из них были одной масти?

7. а) X = + ;

б) У студента имеется 7 различных учебников. Сколькими способами можно выбрать 3 учебника?

в) Сколькими способами можно расставить на книжной полке 8 томов собрания сочинений так, чтобы первый, второй и третий тома стояли рядом?

8. а) X = 5 – ;

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

в) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт пять карт так, чтобы среди них точно была одна шестерка и одна семерка, причем одной масти?

9. а) X = – ;

б) Сколькими способами можно усадить на скамейку 6 человек?

в) В спортивной секции занимаются 10 человек. Сколькими способами можно выбрать из них 5 человек, среди которых трое – участники эстафеты 100 + 400 + 500 и двое – запасных?

10. а) X = + ;

б) Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт две карты: одну масти «крести», другую – масти «черви»?

в) На школьной конференции от класса в 20 чел. должны участвовать 5 представителей; среди них – 2 докладчика: по математике и по истории. Сколькими способами можно составить команду участников?

11. а) X = + ;

б) На вершину горы ведут 5 троп. Сколькими способами два туриста, идущие разными тропами, могут добрать до вершины?