Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» (стр. 1 )

ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет

Математический факультет

Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)

по дисциплине «Математическая статистика»

Часть 1

Екатеринбург – 2011

       Введение

       Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех направлений подготовки всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математическая статистика». Разработка содержит индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания по их решению.

Методические указания к решению задач

ИДЗ-1. Элементы теории множеств

       a) Определите и изобразите на рисунках множества A, B, A∪B, A∩B, A/B, B/A, AΔB, где

A = {(x, y) ∈ R2: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, 

B = {(x, y) ∈ R2: |x – 1| ≤ 1, |y – 1| ≤ 1}.

Решение: Множества A и B представляют собой множества точек на декартовой плоскости R × R = R2 (плоскости Oxy). Как нетрудно установить, множество A представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (0; 0) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству A. Аналогично, множество B представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (1; 1) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству B. Множества A, B, A∪B, A∩B, A/B, B/A, AΔB изображены на рис. 1.

б) Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующего утверждения:

(A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).

Решение: Разложим множества A и B на непересекающиеся подмножества {xA}, {xB}, {xAB}:

A = {xA∪xAB};        

B = {xB∪xAB}.

В этих обозначениях для левой части предполагаемого равенства имеем:

A\B = {xA∪xAB}\{xB∪xAB} = {xA};

B\A = {xB∪xAB}\{xA∪xAB} = {xB};

(A\B)∪(B\A) = {xA}∪{xB} = {xA∪xB}.

Для правой части равенства имеем:

A∪B = {xA∪xAB}∪{xB∪xAB} = {xA∪xB∪xAB};

A∩B = {xA∪xAB}∩{xB∪xAB} = {xAB};

(A∪B)\(A∩B) = {xA∪xB∪xAB}\{xAB} = {xA∪xB}.

Левая и правая части доказываемого равенства одинаковы и равны {xA∪xB}. Справедливость утверждения установлена.

	Рис. 1

ИДЗ-2. Элементы комбинаторики

а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

б) Решите комбинаторную задачу;

в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.

а) X = 10P4⋅ – ;

б) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Для участия в эстафете от группы требуется выставить команду из двух девушек и двух юношей. Сколькими способами можно сформировать команду?

в) Сколькими способами шесть пассажиров могут сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым?

       Решение: 1а) С учетом известных формул комбинаторики (без повторений) для числа перестановок из n элементов:

Pn = n!;

размещений из n элементов по k элементов:

= ;

и сочетаний из n элементов по k элементов:

= ;

проведем необходимые преобразования:

X = 10P4⋅ – = 10⋅4!⋅⋅ – = 2⋅5!⋅ ⋅ – 5! =

= 5!⋅(2⋅ – 1) = 5! = 120.

б) Число способов выбрать для участия в команде двух девушек равно:

= = = 45.

Аналогично, число способов выбрать для участия в команде двух юношей равно:

= = = 15.

Согласно комбинаторному принципу умножения, число способов сформировать команду из двух девушек и двух юношей равно:

n = × = 45×15 = 675.

в) Из условия задачи ясно, что в одном вагоне (из пяти) должны разместиться два пассажира, а в остальных четырех вагонах – по одному.

Для удобства будем считать, что вначале в электричку садятся пять человек (из шести), а затем в один из пяти вагонов вторым пассажиром входит оставшийся шестой человек.

Число способов выбрать пять пассажиров из шести составляет = 6. Число способов этим пяти выбранным пассажирам разместиться по одному в пяти вагонах равно числу перестановок из пяти: P5 = 5! = 120. Таким образом, число способов пяти пассажирам, отобранным из шести, разместиться по одному в пяти вагонах, равно × P5 = 6×120 = 720. Наконец, оставшийся шестой человек может сесть в один из пяти вагонов 5 различными способами.

Окончательно, полное число способов шести пассажирам сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым, составляет n = ×P5×5 = 720×5 = 3600.

Ответ: a) X = 120; б) n = × = 675; в) n = 5×P5 = 3600.

ИДЗ-3. Классическое определение вероятности

Решите задачу на вычисление вероятности, основываясь на ее классическом определении:

       Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности.

       Решение: Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна

P(A) = ,

где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.

       Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр,

n = 410 = 220 = 1048576.

Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: = = 56. Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 35 = 243. Т. о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно

m = ×35 = 56⋅243 = 13608.

Искомая вероятность события A равна:

P(A) = = 0,013.

       Ответ: P(A) = = 0,013.