Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по дисциплине «Математическая статистика» (стр. 5 )

6. На полке в случайном порядке расставлено 10 книг, среди которых находится трехтомник Фихтенгольца. Найти вероятность того, что эти три тома стоят в порядке возрастания (не обязательно рядом).

7. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что четыре туза расположены рядом.

8. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

9. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

10. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков делится на 4.

11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик имеет по крайней мере одну окрашенную грань.

12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся неокрашенные.

13. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что среди них есть две пятерки, набрал наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

14. В группе 12 студентов, среди которых 7 отличников. Наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди них есть пять отличников.

15. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков превышает 12?

16. На полке в случайном порядке расставлено 10 книг, среди которых находится трехтомник Фихтенгольца. Найти вероятность того, что эти три тома стоят рядом в порядке возрастания.

17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность выпадения ровно двух пятерок.

18. Четырехзначный номер автомобиля считается счастливым, если сумма двузначного числа из первых двух первых цифр с двузначным числом из последних двух цифр равна 100. Найти вероятность того, что номер случайно встреченного в большом городе автомобиля счастливый.

19. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков превышает их произведение?

20. Двенадцать человек случайно оказались в одной комнате. Какова вероятность того, что их дни рождения приходятся на разные месяцы года?

21. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков делится на пять?

22. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик имеет ровно одну окрашенную грань.

23. На отрезок, разделенный на три равные части, случайным образом помещены три точки. Какова вероятность того, что на каждую треть отрезка придется по одной точке?

24. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что четыре подряд вынутые карты будут одной масти.

25. В урне 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Какова вероятность того, из трех подряд вынутых шаров ровно два окажутся белыми?

26. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Из партии наудачу вынимают две детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?

27. В связке 5 разных ключей и только один из них соответствует двери. Делаются попытки открыть наудачу взятым ключом, причем не подошедший ключ более не используется. Найти вероятность того, что а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открытия двери будет использовано не более двух ключей.

28. В ящике 5 синих и 8 красных шаров. Наудачу из ящика вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

29. В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Из ящика вынули 2 шара. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не превышает 5?

30. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

ИДЗ-4. Геометрическая вероятность

Решите задачу на вычисление геометрической вероятности.

1. В круге радиуса R наудачу проведена хорда. Найти вероятность того, что длина хорды не более R.

2. Коэффициенты квадратного уравнения x2 + 2bx + c = 0 – случайные числа из промежутков b, с ∈ [0; 2]. Какова вероятность того, что уравнение имеет действительные и притом положительные корни?

3. На отрезке АВ длиной l наудачу выбраны две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к M, чем к точке А.

4. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?

5. Два парохода должны подойти к одному причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного – 1 час, а другого – 2 часа.

6. На плоскость, уложенную равносторонними треугольными плитками со стороной 12 см уронили монету радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одну из стыковых линий?

7. Прямоугольник со сторонами 8 см и 16 см рассечен случайной прямой, проходящей через одну из вершин. Найти вероятность того, что площадь большей из полученных фигур превышает площадь меньшей по крайней мере на 50%.

8. Два лица могут прийти к месту встречи равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

9. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k = 1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки в заштрихованную область.

10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x⋅y не меньше 0,09.

11. На окружности радиусом R случайным образом выбраны две точки A и B. Найти вероятность того, что площадь большего из полученных секторов превышает площадь меньшего, но не более чем в 3 раза.

12. На плоскость, уложенную правильными шестиугольниками со стороной 12 см уронили диск диаметром 3 см. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одну из стыковых линий?

13. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение x⋅y  будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.

14. На отрезке ОА длины l числовой оси наудачу поставлены две точки: В и С. Найти вероятность того, что длина ВС окажется меньше, чем l/2.

15. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

16. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами 5 и 7 мин. Найти вероятность того, что придя на остановку в случайный момент времени, пассажир будет ждать не дольше двух минут.

17. Прямоугольник со сторонами 10 см и 20 см рассечен случайной прямой, проходящей через одну из вершин. Найти вероятность того, что периметр большей из полученных фигур превышает периметр меньшей по крайней мере вдвое.

18. В интервале времени [0; T] в случайный момент t1 появляется сигнал длительности Дt1. Приемник включается в случайный момент t2 ∈ [0; Т] на время Дt2. Найти вероятность обнаружения сигнала.

19. В круге радиуса R наудачу проводится хорда длины l. Найти вероятность того, что длина хорды R ≤ l ≤ 2R.

20. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.

21. Задуманы два действительных неотрицательных числа, меньшие 10. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 10, а сумма их квадратов не больше 100.

22. Квадрат разрезан на две части случайной линией, проходящей через одну из вершин. Найти вероятность того, что площадь большей части превышает площадь меньшей части по крайней мере втрое.

23. Палочка длиной 20 см случайным образом ломается в двух местах. Какова вероятность того, что из трех полученных кусочков можно будет составить треугольник?

24. На плоскость, разграфленную на квадратные клетки параллельными и перпендикулярными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 10 см, наудачу брошена монета диаметром 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

25. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС тупоугольный?

26. Прямая отсекает на координатных осях отрезки OX и OY, длиной не превышающей 2 каждый. Найти вероятность того, что площадь треугольника OXY превышает 1.

27. В детектор поступают короткие сигналы от двух независимых устройств, равновозможные в любой момент промежутка времени T. Сигналы воспринимаются детектором как различные, если промежуток времени между их поступлением превышает время τ. Найти вероятность того, что детектор различит поступившие сигналы.

28. Равносторонний треугольник со стороной a = 16 см случайным образом рассечен прямой, проходящей через одну из его вершин. Найти вероятность того, что площадь одной полученной части не более, чем в два раза превосходит площадь другой.

29. Равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной a = 20 см случайным образом рассечен на две части прямой, параллельной гипотенузе. Какова вероятность того, что периметр малого треугольника меньше периметра оставшейся части?

30. Коэффициенты квадратного уравнения x2 + 2bx + c = 0 – случайные числа из промежутков b ∈ [0; 2], c ∈ [0; 4]. Какова вероятность того, что уравнение имеет действительные корни?

ИДЗ-5. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Решите задачу на вычисление вероятности с применением соответствующих теорем сложения и умножения вероятностей.

1. В шкатулке лежат 6 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп., и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более одного рубля?

2. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 19, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?