Школа педагогики Кафедра математики, физики, и методики преподавания Линии в пространстве. Механический аспект Курсовая работа (стр. 2 )

Особенности формы.  Если концы нити заданной длины закрепить в точках F1 и F2 (рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2  называются большой и малыми осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность. Окружность – это частный случай эллипса.

(Рис. 3).

С геометрической точки зрения, эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний каждой из которой до данных точек F1 и F2 равна длине данного отрезка PQ, причем PQ > F1F2.

Если M – точка данного эллипса, то отрезки F1M и F2M называются фокальными радиусами точки М. Пусть F1F2 = 2c, PQ = 2a. Так как PQ > F1F2, то a > c.

Уравнение. В прямоугольной системе координат фокусы F1 и F2 эллипса имеют координаты F1(c, 0), F2(-c, 0), поэтому фокальные радиусы в произвольной точки M(x, y) эллипса равны:

По определению эллипса F1M + F2M = 2a, поэтому

= 2a. (1)

Запишем это уравнение (1) в виде

Возведя это уравнение в квадрат и приведя подобные члены получим:

  (2)

Снова возведя в квадрат и преобразовав уравнение (2) получим:

  (3)

где   (4)

Итак, доказано, что координаты любой точки эллипса γ удовлетворяют уравнению (3). Докажем, что каждая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (3) и учитывая равенство (4), получим:

Из уравнения (3) следует, что , и так как то

поэтому:

Следовательно, F1M + F2M = 2a, т. е. M ∈ γ. Итак, уравнение (3) является уравнением эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Механический аспект. Кривые второго порядка  были открыты. Это было поистине великое открытие, но значение кривых второго порядка еще никто не сумел переоценить. И первый кто задумался над этим вопросом был Кеплер, он первый доказал, что наша планета Земля в своем движении вокруг солнца описывает эллипс. То же самое происходит и с другими планетами Солнечной системы. Этот факт Кеплер зафиксировал в своем первом законе.

Движение по эллипсам происходит потому, что каждая планета в каждый момент времени имеет скорость, не превосходящую некоторой величины. Оказывается, что если бы эта скорость была большей, то движение происходило бы или по параболе, или по гиперболе. Никаких иных траекторий тела, движущиеся относительно неподвижного тела и притягивающиеся к нему по закону всемирного тяготения, иметь не могут.

Эллипс получил широкое применение в архитектуре, так как по форме эллипса распространяются акустические волны. Поэтому многие архитекторы используют эллипс для создания поразительных звуковых эффектов, например: «говорящих бюстов», «магического» шёпота, «потусторонних» звуков.  Например,  в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму, мы будем наблюдать следующий акустический эффект: если человек находится в одном из фокусов эллипса, то речь другого человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как  будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

2)Гипербола.

Особенности формы.  При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F1 и F2, как показано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF2 превосходит по длине отрезок PF1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F1F2. При этом один конец нити проходит под шпеньком F1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F2. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV1Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и, потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка P окажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F1 и F2  (Рис. 4).

(Рис. 4).

Если в определении эллипса сумму расстояний заменить на разность, то мы  получим гиперболу.

Гиперболой называется множество точек, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и  F2 равно длине данного отрезка PQ, причем PQ < F1F2.

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними – фокальным расстоянием. Так как F1F2 > PQ > 0, то фокусы гиперболы – различные точки.

Уравнение. Уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат имеет следующий вид:

  (1)

где

Уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы.

Механический аспект.  Если изготовить башню из прямолинейных стрежней, поставив их вертикально, то получится очень непрочное сооружение – оно погнется от сравнительно небольшой нагрузки. Если же стержни  расположить так, чтобы они образовали однополосный гиперболоид и связать в точках их пересечения, то получится очень легкая и прочная конструкция. В форме таких поставленных друг на друга гиперболоидов изготавливаются башни, которые получили название башен системы инженера Шухова. Таким образом, гипербола нашла свое применение в архитектуре.

Во время Второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолета или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу,  которые одновременно испускали сигналы. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых позволяло определить место, где он находится.

Многие спутники движутся по гиперболе, если скорость движения спутника достигнет «третьей космической скорости».

Так же гиперболы используют для определения расстояния до источника звука.

3)Парабола.

Особенности формы. Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F (рис. 5). Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

(рис. 5).

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние до каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F.

Точка F называется фокусом параболы, а прямая d – директрисой. Директриса – прямая параллельная второй оси и отстоящая от нее на расстоянии  .  Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается через p.

Уравнение. Уравнение параболы в прямоугольной системе координат имеет следующий вид:

, (1)