Школа педагогики Кафедра математики, физики, и методики преподавания Линии в пространстве. Механический аспект Курсовая работа (стр. 4 )

Иными словами, r  прямо пропорционально , причем коэффициент пропорциональности

Приладим к нашему бегунку маленькую, но неистощимую баночку с черной краской, и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимой вместе с жучком стрелкой. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 – 212 лет до н. э.). В его честь эта кривая называется спиралью Архимеда (рис.  13).

  (рис. 13).  (рис. 14).

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.

Уравнение. Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат имеет следующий вид:

, где

с0 и с1 – постоянные.

Механический аспект. Спираль Архимеда имеет очень широкое применение в жизни человека. С помощью спирали Архимеда, например, можно разделить любой угол на три равные части.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 14). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок,  будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ОN на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON1, длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON1­, с помощью циркуля. Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла АОN.

Если мы обратим внимание на окружающие нас предметы, созданные природой, то мы снова сможем наблюдать спираль Архимеда. Например, если мы вернемся, снова к паучку и рассмотрим его паутину, то мы заметим, что он плетет паутину по форме спирали Архимеда. Так же многие природные явления имеют форму спирали Архимеда, например: свирепый смерч и  величественный круговорот космического вихря туманностей и галактик (рис. 15).

(рис. 15).

По спирали Архимеда, например, идет звуковая дорожка. Одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку имеет также форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одним из изобретений ученого считается винт (прообраз объемной спирали), которой использовался как механизм для подачи воды в оросительные каналы из низко лежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке (рис. 16).

(Рис. 16).

Циклоидальные кривые

Представим, что некоторая кривая катится без скольжения по другой кривой, какая либо точка, неизменно связанная с первой кривой, будет описывать при этом новую кривую.

Среди кривых, образуемых указанным способом, выделяются кривые, являющиеся траекториями точки, неизменно связанные с кругом, которой без скольжения катится по другому кругу. Получаемые при этом линии называются циклоидальными.

При образовании циклоидальных кривых вычерчивающая точка отстоит от центра производящего (подвижного) круга на определенном расстоянии. В частном случае она находится на окружности производящего круга. При этом условии получаемые кривые подразделяются на эпициклоиды и гипоциклоиды, в зависимости от того, располагается ли производящий круг с наружной или с внутренней стороны неподвижного круга.

1) Циклоида

Первым из ученых обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьезное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилео Галилей (во Франции она сначала называлась рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провел современник Галилея – Мерсенн.

Паскаль писал о циклоиде: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её в древности, ибо это нечто иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса».

Особенности формы.  Циклоида (от греч. КхклпейдЮт – круглый) – плоская трансцендентная кривая.

Циклоидой называется линия, которую описывает точка, закрепленная в плоскости круга, когда круг катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направляющая) (рис. 17).

(Рис. 17).

Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т. е. расстояние CM = d от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной (рис 18); если вне круга (т. е. d > r) – удлиненная (рис. 17); если точка М лежит на окружности (т. е. d = r), то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой (рис. 19).

(Рис. 18)

(Рис. 19)

Уравнение.  Циклоида описывается параметрическим уравнением:

,

где t – угол поворота окружности.

Уравнение циклоиды в прямоугольной системе координат имеет следующий вид:

.

Механический аспект.  Рассмотрим, задачу о брахистохроне, в которой проявляется одно из замечательных свойств циклоиды. Пусть даны две точки  в вертикальной плоскости, не лежащей на одной вертикали; найдем вид кривой линии, спускаясь по которой тяжелое тело прошло бы путь между этими точками в наименьшее время. Решение этой, по словам Лейбница, «столь прекрасной и до сих пор неслыханной задачи» было дано самим И. Бернулли, Лейбницем, Ньютоном, Я. Бернулли и Лопиталем.

На решение предложенной задачи  И. Бернулли дал полугодичный срок, но за это время решение прислал только Лейбниц. Поэтому по его предложению И. Бернулли продлил срок до Пасхи 1697 г. В этот срок задача была также решена только Ньютоном, Я. Бернулли и Лопиталем, которые нашли, что кривой наименьшего спуска является циклоида. Решение Ньютона было напечатано в майском номере «Philosophical Transactions» за 1697 г. Без подписи автора.  В майском же номере «Ada Eruditorum» за 1697 г.. в котором опубликовал своё решение И. Бернулли, была напечатана статья его старшего брата Я. Бернулли и статья Лопиталя с аналогичными решениями.

Рассмотрим перевернутую циклоиду с  точкой возврата в верхней из заданных точек (рис. 20).

(Рис. 20).

Галилео Галилей рассматривал четвертинку окружности и считал, что это наилучшая в смысле времени траектория спуска. Он вписывал в нее ломаные и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается. Отсюда Галилей естественным образом пришел к окружности, но сделал неверный вывод, что эта траектория наилучшая среди всех возможных. Как мы видим, наилучшей траекторией является циклоида.

Сделаем бобслейные трассы с рассмотренными профилями и проследим, какой из бобов приедет первым (рис. 21). Дадим старт нашим машинам (рис. 22).

  (Рис. 21).  (Рис. 22).

Мы увидим, что машина, которая двигалась по прямой придет к финишу позже тех, которые двигались по циклоиде.

Теперь сделаем три одинаковые горки с профилем в виде циклоиды, так, чтобы концы горок совпадали и располагались в вершине циклоиды. Поставим машины на разные высоты и дадим старт (рис. 23). Удивительнейший факт – все машины приедут к финишу одновременно! Экспериментально доказано, что опушенные одновременно машины с любой точки циклоиды прийдут к финишу одновременно.

(Рис. 23).

Так же Галилео Галилей, наблюдая за качением люстры,  замечает, что период качения люстры зависит только от длины подвеса. После этого он придумывает маятник, который мы можем наблюдать в старинных часах, т. е. когда у нас имеется единственная точка крепления, длинный нерастяжимый стержень и груз, закрепленный на этом стержне, движущийся по окружности. юйгенс заметил, что если очень сильно отвести этот маятник, то период качения изменится. Решая эту задачу, Х. Гюйгенс доказывает, что этот груз должен ходить именно по циклоиде. Именно этот факт позволил решить проблему часов того времени, т. е. с использованием маятника, движущегося по циклоиде, больше не приходилось подводить часы, и часы стали более точными.

Заключение.

Исходя из исследования работы, было выявлено,  что тема действительно является актуальной. Кривые – это не только объект научных исследований. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре.

В данной работе было рассмотрено понятие кривой. Это множество точек плоскости, координаты которых являются функциями одной переменной.

В данной работе были рассмотрены некоторые виды кривых, способы их построения и применение этих линий в жизни человека.

Также в данной работе было показано, что кривые имеют очень важную роль в астрономии, т. е.  все планеты, их спутники и другие космические тела движутся по орбитам, которые представляют собой формы конических сечений таких, как эллипс, парабола, гипербола, а так же их используют в астрономии для расчетов.

Благодаря проведенным исследованиям в данной курсовой работе были достигнуты все поставленные цели и задачи.

Список литературы.

Кованцов и романтика. Издательское объединение «Вища школа», 1976, 96 стр. Маркушевич кривые. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Издание второе, 1952, 34 стр. Перельман механика. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Издание пятое, 1948, 172 стр. Аминов геометрия и топология кривых. Издательство «Наука», 1987, 160 стр. Кадомцев геометрия и линейная алгебра. Издательство «Физматлит», 2003, 153 стр. , -Огиевский. Курс начертательной геометрии. Издательство «Высшая школа», 2000, 270 стр. Энциклопедия для детей. Т. 8 Астрономия. – 2-е  изд., исп./главн. ред. метод. ред.  В. Володин, А. Элиович. – М.: Аванта+, 2003. Берман . Издательство «Наука», 1980, 112 стр. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды, Журнал «Квант», 1975, №12. «Академия. Математические этюды», Видеолекция. http://tvkultura. ru/video/show/brand_id/20898/episode_id/154672/video_id/154672/viewtype/