где p – фокальный параметр.

  Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

Механический аспект. Камень, брошенный не строго вертикально, летит по параболе; то же самое можно сказать и об орудийном снаряде. Правда, сопротивление воздуха как в том, там и в другом случае искажает форму параболы и фактически получается другая кривая. Но, наблюдая движение в пустоте, мы получили бы настоящую параболу.

Если при одной и той же скорости ν вылета снаряда из канала ствола орудия придавать стволу различные углы наклона к горизонту, то будут получаться различные параболы, описываемые снарядом, и различная дальность полета.

Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге параболы, то лучи точечного источника света, помещенного в фокусе, отразившись от полоски, пойдут параллельно оси (рис. 6). Обратно, если на нашу полоску будет падать пучок лучей, параллельный оси параболы, то после отражения лучи соберутся в её фокусе.

На этом свойстве параболы основано устройство параболических зеркал, употребляемых в автомобильных фарах (рис. 7) и вообще в прожекторах. Однако, они шлифуются не на полоски, а по так называемому параболоиду вращения. Получить поверхность такого зеркала можно, заставив вращаться параболу вокруг её оси.

  (Рис. 6).  (Рис. 7).

Так же в форме параболических зеркал изготавливаются рефлекторы телескопов. Назначение этих рефлекторов противоположно назначению рефлекторов в прожекторе: в то время, как в прожекторе рефлектор отбрасывает в пространство световые лучи, в телескопе он собирает лучи, идущие из космоса, в своем фокусе.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Достаточно теперь направить на этот фокус систему увеличительных стекол, и мы получим о светиле, лучи которого собрали, гораздо большую информацию, чем её может дать невооруженный глаз.

При движении спутника вокруг Земли со скоростью равной «второй космической скорости»,  траектория спутника станет параболической и спутник никогда не вернется в точку, из которой он был запущен.



Кривые третьего порядка.

Кривые третьего порядка отличаются от других кривых тем, что они могут иметь точку перегиба. Кривые третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например, линиям человеческого тела. 

1) Локон Аньези

Особенности формы. Рассмотрим окружность с диаметром ОС = а, и прямую y = a. Проведем секущую ОА, так что прямая ОА пересекает прямую  y = a в точке B, тогда прямые СВ и АМ параллельны оси  Ох, а ВМ параллельна оси Оу, то локон Аньези есть геометрическое место точек М (рис. 8). Если центр образующей окружности и касательная СВ смещены, то кривая получаемая аналогичными построениями является частным случаем локона Аньези, и называется агвинеей Ньютона.

(Рис. 8)

Впервые с данной кривой столкнулся Ферма в 1703 году, а построил ее впервые Гранди, который в 1718 г. за ее форму назвал ее по-итальянски «la versiera», что значит «ведьма» или «жена дьявола». Позже эту кривую исследовала Мария Аньези.  В Англии эта кривая стала известна как «ведьма Аньези», в других странах ее назвали «локоном Аньези».

Уравнение. Уравнение локона Аньези в прямоугольной системе координат имеет следующий вид:

.

Механический аспект. Трамплин – рампа российского авианосца «Адмирал флота Советского Союза Кузнецов» образован при помощи локона Аньези  (рис. 9). Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180-200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

(Рис. 9).

2) Лемниската Бернулли

Особенности формы.  Название происходит от греч. Лзмнйучпт (лемнискос) – лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало ее изучению.

В 1694 г. Якоб Бернулли в работе, посвященной теории приливов и отливов использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задал уравнением .  Он отмечает сходство этой линии с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он назвал «лемниском» (рис. 10). Отсюда и вытекает называние лемниската. Лемниската получила широкую известность, когда в 1718 г. Итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции.

(Рис. 10).

Лемниската есть частный вид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули была установлена лишь в 1806 г.  (итальянским математиком Саладини).

Лемниската есть геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от них до концов данного отрезка F1F2 = 2c равно . Точки F1, F2 называются фокусами лемнискаты, прямая F1F2 – осью лемнискаты.

Уравнение. Уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат имеет следующий вид:

,

где F1(a, 0) и F2(-a, 0) – фокусы лемнискаты.

Механический аспект. В технике лемниската Бернулли используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных путях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которого центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

В качестве применения лемнискаты в области физики можно указать, что линии поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой (рис. 11).

(Рис. 11).


Трансцендентные кривые.

Трансцендентными называют линии, уравнения которых в прямоугольных декартовых  координатах не являются алгебраическими.

Простейшими примерами трансцендентных кривых могут случить графики функций и других тригонометрических функций.  Рассмотрим некоторые другие трансцендентные линии.

1) Спираль Архимеда.

Особенности формы. Вообразим себе бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии см от центра, а через две – и т. д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий (т. к. за одну секунду стрелка успевает повернуться на угол 360° : 60 = 6°). Поэтому положение жука на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала находится так. Нужно отложить от начальной положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий , и отметить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние см тут мы и настигнем жучка (рис. 12).

(Рис. 12).

Очевидно, что соотношение между углом поворота стрелки (в градусах) и найденным расстоянием (в сантиметрах) будет такое:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4