Школа педагогики Кафедра математики, физики, и методики преподавания Линии в пространстве. Механический аспект Курсовая работа (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

ШКОЛА ПЕДАГОГИКИ Кафедра математики, физики, и методики преподавания Линии в пространстве. Механический аспект КУРСОВАЯ РАБОТА

Студент гр. Б2304___________________                        

(подпись)

Руководитель ассистент

___________________

Регистрационный знак №____________  Оценка________________________

_____________  __________________  ___________  ______________

(подпись)  ()  (подпись)  ()

«____»______________________2014 г.  «____»________________2014 г.

г. Уссурийск

Оглавление

Введение        4

История возникновения        6

Понятие кривой в пространстве        8

Исследование кривых в пространстве. Механический аспект        10

1.        Кривые второго порядка        10

2.        Кривые третьего порядка.        19

3.        Трансцендентные кривые.        22

4.        Циклоидальные кривые        26

Заключение.        31

Список литературы.        32

Введение

Кривые с давних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений.

В школьном курсе математики из всего многообразия кривых рассматриваются только графики простейших функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим свойствам (возрастанию, убыванию и т. п.). Механический аспект остается в стороне даже для таких известных кривых, как эллипс, парабола, гипербола. Вместе с тем определения этих и других кривых могут быть даны как определения геометрических мест точек без использования системы координат.

Другим способом вводится определение кривой – как траектории движения точки. К их числу относятся циклоидальные кривые, т. е. кривые, описываемые точками, которые связаны с окружностями, катящимися без скольжения. Эти кривые очень широко используются в жизни человека. Так же хочется отметить, что кинематический способ образования кривых, при котором кривая получается как траектория движения точки, является одним из древнейших способов.

Все что нас окружает, состоит из множества черт, которые в свою очередь, складываются из различных кривых. В силу частой встречаемости кривые находят широкое механическое применение: они встречаются в быту, живописи, архитектуре, природе…

Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы этой работы.

Цель данной работы заключается в знакомстве с некоторыми поистине замечательными кривыми, которые встречаются и имеют широкое практическое применение в нашей жизни.

Задачи работы, заключаются в том, чтобы научиться различать виды замечательных кривых, строить эти кривые и применять полученные знания в современной жизни.

В данной работе были рассмотрены:

Особенности форм кривых в пространстве; Уравнения кривых; Механический аспект кривых (практическое применение).

История возникновения

Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия берега реки и другие явления природы с давних пор привлекали внимания людей. То, что видели люди в доисторические времена, послужило основой для установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых линий. Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые. Памятники глубокой древности свидетельствуют нам о том, что у всех народов на некоторой степени их развития имелись понятия прямой и окружности. Для построения этих линий использовались простейшие инструменты.

Однако учения о линиях получило свое развитие лишь с возникновением математических теорий. Например, греческие ученые создали теорию линий второго порядка. Эти линии рассматривались как сечение конуса плоскостью, вследствие чего в древности их называли коническими сечениями. Конические сечения впервые рассматривал Менехм, который жил в IV веке до н. э.. Первое систематическое изложение теории этих линий дал Апполоний Пергский (III – II вв до н. э.) в своем сочинении «Конические сечения». 

В средневековую эпоху важное достижение греческих ученых было забыто. Математическая наука снова обратилась к изучению кривых только в VII веке. Для исследования линий первостепенное значение имело открытие Декартом и Ферма метода координат, способствовавшего возникновению исчисления бесконечно малых. Метод координат в соединении с анализом бесконечно малых позволил перейти к исследованию линий общим способом. Разнообразные проблемы механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в VII – VIII века, привели к открытию многих новых линий и изучению их геометрических механических свойств. Этим вопросом с большим энтузиазмом занимались крупнейшие математики эпохи – Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, братья Бернулли.

Следующий важнейший шаг в изучении линий был сделан Ньютоном, который начал разработку теории кривых третьего порядка. Впоследствии были поставлены задачи: исследовать кривые четвертого и высших порядков, создать общую теорию алгебраических кривых на плоскости, приступить к систематическому изучению алгебраических поверхностей, начиная с поверхности второго порядка. В решение последней задачи большой вклад в VIII веке внес знаменитый математик Леонард Эйлер. Он написал пособие по аналитической геометрии, в которой излагалась теория линий и поверхностей второго порядка.

Понятие кривой в пространстве

Кривой называется множество точек плоскости координаты, которых являются функциями одной переменной.

Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как:

Траекторию, описанную движущейся точкой; Проекцию другой кривой; Линию пересечения двух криволинейных поверхностей.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она является пространственной.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнение алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат. Множества алгебраических кривых в свою очередь подразделяются на множества в зависимости от порядка кривой, определяемой степенью уравнения.

Алгебраическую кривую, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривой линией второго порядка.

Все кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой третьего порядка можно записать так:

.

При этом предполагается, что коэффициенты одновременно не обращаются в нуль (в противном случае получилось бы уравнение второй степени). Если все линии второго порядка мы без труда сможем сосчитать (окружность, эллипс, гипербола, парабола), то линии третьего порядка мы так быстро не сможем сосчитать, так как этих линий более 70.

Линией (кривой) четвертого порядка называют линию, определяемую алгебраическим уравнением четвертой степени относительно декартовых прямоугольных координат. Аналогично определяются линии пятого, шестого и других порядков.

Множество линий четвертого порядка содержит уже не десятки, а тысячи линий частного вида. Еще более разнообразными являются множества линий пятого и шестого порядка.

В данной работе мы рассмотрим некоторые отдельные виды линий второго, третьего, четвертого и высших порядков, имеющие интересные свойства и механические аспекты.

Исследование кривых в пространстве. Механический аспект

Кривые второго порядка

Впервые с кривыми второго порядка столкнулся греческий математик Менехм, который жил IV столетии до н. э. Впоследствии кривые второго порядка были названы триадами Минехма.

Предполагают, что Минехм открыл триады, рассматривая сечения прямого кругового конуса плоскостями.  При этом конус следует рассматривать состоящим из двух плоскостей (рис. 1).  Предполагается, что Менехм пришел к коническим сечениям через задачу об удвоении куба.

(рис. 1).

При рассечении прямого кругового конуса плоскостями Менехм получил следующие кривые:

Если секущая плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим конуса, то рассекается только одна плоскость и в сечении получается замкнутая кривая, которая называется эллипсом (рис. 2); Если секущая плоскость пересекает обе плоскости, то полученная кривая имеет две ветви и называется гиперболой (рис. 2); Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то получается кривая, которая называется параболой (рис. 2).

(Рис. 2).

1) Эллипс.