Контрольная работа по вычислительной математике (стр. 2 )

  Алгоритм исключения неизвестных даёт точное решение системы, поэтому нет необходимости включать в него параметр .

  Алгоритм состоит из следующих элементарных операций: 

  1) Найти уравнение, содержащее наибольший по абсолютной величине коэффициент; в данном примере это будет второе уравнение.

  2) Переставить уравнения, чтобы первым было уравнение с наибольшим коэффициентом:

  3) Переставить столбцы левой части системы, чтобы переменная с наибольшим коэффициентом разместилась на диагонали:

  4) Первое уравнение делим на наибольший коэффициент, чтобы коэффициент при неизвестной на диагонали сделать равным 1:

  5) Из всех уравнений, кроме первого, исключаем неизвестные первого столбца. Чтобы исключить неизвестную из второго  уравнения, первое уравнение умножим на коэффициент при , т. е. на 2, и вычтем  первое уравнение из второго:

  6) Аналогично исключаем    из третьего уравнения: первое уравнение умножим на коэффициент при , т. е. на -1, и вычтем  первое уравнение из второго:

  После этих преобразований получим следующую систему,  эквивалентную исходной системе:

  7) Далее рассматриваем систему без первого уравнения    и для её преобразования переходим к пункту 1).

Окончательно получим систему

Подставим  в предпоследнее уравнение, находим , затем из первого уравнения получим , и система решена.

  Задача 4. Решить систему по алгоритму исключения неизвестных

 

  3.  Интерполирование функций.

  Задача интерполирования заключается в замене некоторой функции  другой, более простой функцией .  Функция  может быть задана таблицей значений; если задана аналитическим выражением, то для интерполирования необходимо вычислить таблицу значений.

  В качестве обычно используют полином, тогда его называют интерполяционным. Использование полинома вместо для вычисления значений функции называется интерполированием функции .

  Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом  опирается на теорему Вейерштрасса: любую непрерывную в интервале   функцию  можно заменить в нём с любой степенью точности полиномом, т. е. можно построить такой полином , что для каждого значения , где − произвольная  положительная величина.

  Пусть функция имеет значения при значениях аргумента , тогда по этим значениям можно построить полином степени не выше :

  .

  Полином будет построен, если его коэффициенты выразить через   и  .  Такое выражение возможно при условии, что полином проходит через те же точки, что и функция , т. е. при условии

   

  На практике используется много различных интерполяционных

полиномов. Рассмотрим построение одного из них − интерполяционного  полинома Ньютона для функции ,  заданной значениями

в равноотстоящих точках  , так что . Коэффициенты полинома вычисляются проще, если полином записывать в виде

  .

  Для дальнейшего построения интерполяционного полинома потребуются разности различных порядков значений функции .

  Величины называются разностями первого порядка. Обозначим эти разности :

  .

  Разности разностей первого порядка называются разностями второго порядка. Обозначим разности второго порядка    и выразим их через  :

  ,

  ,

  ,

  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

  Разности разностей второго порядка называются разностями третьего порядка. Обозначим разности третьего порядка    и выразим их через  :

  ,

  , 

  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

  Разности обычно записывают в таблицу разностей следующего вида:

  Возвратимся к построению интерполяционного полинома в виде