Контрольная работа по вычислительной математике (стр. 3 )

  .

  Подставим значение , получим равенство

  .

Все слагаемые в правой части, кроме первого, содержат множитель , поэтому , но , следовательно

  Чтобы выразить через , подставим , получим равенство

  .

Все слагаемые в правой части, начиная с третьего, содержат множитель , поэтому все они равны нулю и . Но , следовательно, , откуда  . Таким 

образом,

  Чтобы выразить через , подставим , получим равенство

  . Так как ,  ,  , то имеем равенство  , откуда .

  Продолжая аналогичные вычисления, найдём выражения для всех коэффициентов интерполяционного полинома:

,  ,  .  .  .  ,

  Теперь можно записать готовый интерполяционный полином Ньютона:

.

  Обычно интерполяционный полином Ньютона преобразуют в другую форму  путём замены  .  Выполним это преобразование.

  Запишем полином в виде:

.

  Последнее выражение и является обычным видом интерполяционного полинома Ньютона

  При построении интерполяционного полинома Ньютона используется

верхняя (подчёркнутая) строка таблицы разностей. Затем полагают .

  Если имеется неограниченная таблица значений функции , то степень  интерполяционного полинома может быть любой. Практически в этом случае степень выбирают так, чтобы разности в столбце были  постоянными (в пределах заданной точности).

  Если таблица значений функции конечна, то число ограничено, а именно не может быть больше числа значений функции, уменьшенного на единицу.

  Исходной точкой   может быть любая табличная точка, при этом для интерполяционного полинома потребуются только те точки, которые идут после этой начальной точки. 

  При замене функции многочленом возникает погрешность .

  Пример. Построить интерполяционный полином для функции, заданной таблицей. Вычислить . Оценить погрешность результата

	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70
	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447

.

  Решение. Составим таблицу разностей

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972	0.087 0.092 0.095	0.005 0.003	-0.002

В столбце разности с точностью до сотых постоянны, поэтому выбираем , тогда  .

;  ;  .

  .

.

Погрешность значения оценивается величиной

 

Задача 5.  Функция задана таблицей

  Найти значение для  , используя интерполяционный полином Ньютона.  Оценить погрешность результата.