Контрольная работа по вычислительной математике (стр. 1 )

 

  Контрольная работа по вычислительной математике

  Выбор варианта. В условие  задачи включена величина , где – две последние цифры номера зачётной книжки. Это и есть индивидуальный вариант задачи.

  Оформление решения. При решении можно использовать любую вычислительную технику, в том числе и системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD и другие), однако целью курса является  не ответ, а изучение алгоритма вычислений, поэтому необходимо представить последовательность операций и все промежуточные результаты.

Алгоритмы вычислительной математики и их свойства.

  Результатом решения задачи в вычислительной математике должны быть числа. Например, в теоретической математике ответом может быть . В вычислительной математике это не ответ, потому что −не число, ответом может быть или , или в зависимости от требуемой точности представления результата извлечения квадратного корня из .

  Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Эти методы называются численными методами.

  Численные методы имеют свой язык записи. Чтобы численный метод давал в результате число, он должен быть представлен в виде чисел и арифметических операций над числами. Однако задачи формулируются обычно на математическом языке (языке уравнений, функций, производных, интегралов и т. п.). Поэтому разработка численного метода  состоит в том, чтобы решение исходной задачи представить в виде арифметических операций над числами.

  Общими принципами при разработке численных методов являются:

  1) Исходная задачи, сформулированная на математическом языке, заменяется вычислительным алгоритмом;

  2) В вычислительный алгоритм включают некоторый параметр , которого нет в исходной задаче;

  3) Параметр должен входить в алгоритм так, чтобы его выбором можно было добиться любой близости решения, полученного по алгоритму, к решению исходной математической задачи;

  4) Неточная реализация алгоритма, вызванная как заменой математической задачи приближённым алгоритмом, так и округлениями при вычислении по алгоритму, не должна влиять на результат вычислений.

  Построим алгоритм решения уравнения .

  По графику левой части уравнения  определим точку , близкую к точке пересечения графика с осью − начальное приближение к корню, и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

 

  Отбросим в разложении  все слагаемые, содержащие производные выше первого порядка, тогда получим приближённое равенство

  .

  Корень уравнения обозначим и подставим его в приближённое равенство, получим:  .  Так как  , то имеем приближённое равенство  .  Если  найти из уравнения  , то его можно считать  приближённым решением уравнения , поэтому формулу

 

можно взять в качестве  алгоритма решения уравнения . Этот алгоритм  называется алгоритмом Ньютона.

  Придавая значения   получим последовательность чисел, которая, как доказано, сходится к точному значению корня при .  Практически уточнения корня производят, пока выполняется неравенство , где − заданная точность вычисления корня.

  Таким образом, алгоритм решения уравнения

В формуле заменить + на – (х=х-ф/ф)

удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к алгоритмам вычислительной математики.

  Задача 1.

Вычислить по алгоритму Ньютона с точностью меньший корень уравнения

  . 

  Начальное приближение можно определить либо по графику левой части уравнения, либо по свойству: если можно найти два значения и таких, что и имеют противоположные знаки, то на промежутке имеется корень (возможно, не один).

  График левой части уравнения при

Полином третьей  степени    имеет три корня, поэтому все корни расположены на промежутке . Наименьший корень находится на промежутке , в качестве начального приближения можно взять значение 

  Задача 2. Построить алгоритм вычисления , где ; если корень из числа извлекается точно, значение увеличить на 1. Вычислить с точностью .

  Указание. Обозначим и возведём левую и правую части в квадрат, получим уравнение или  . Таким образом, задача извлечения корня сводится к задаче решения уравнения .

  Задача 3. Вычислить с точностью .

2.  Численное решение системы линейных алгебраических уравнений.

  Рассмотрим  алгоритм исключения неизвестных (алгоритм  Гаусса) решения системы линейных уравнений на примере решения системы трёх  уравнений с тремя неизвестными