Контрольная работа по вычислительной математике (стр. 4 )

4.  Численное интегрирование.

  Пусть требуется вычислить . Если непрерывна на отрезке и известна первообразная подинтегральной функции , то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона−Лейбница  . Однако во многих случаях первообразную нельзя найти элементарными средствами, поэтому вычисление интеграла по формуле Ньютона−Лейбница  может быть затруднительным или даже практически невозможным, Кроме того, на практике подинтегральная функция часто задаётся таблично, тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому необходимо иметь приближённые и в первую очередь численные методы вычисления определённых интегралов.

  Задача численного интегрирования заключается в вычислении значения  определённого интеграла на основе ряда значений подинтегральной функции.

  Обычный приём построения алгоритмов численного интегрирования состоит в том, что подинтегральную функцию на отрезке интегрирования заменяют интерполяционным полиномом и затем полагают  . Интеграл от полинома легко вычисляется и получается алгоритм численного интегрирования.

  Построим алгоритм парабол (алгоритм Симпсона) численного интегрирования.

  Промежуток интегрирования разобьём на чётное число частей , тогда где  . Интеграл на промежутке от    до    вычислим следующим способом. Возьмём два первых частичных промежутка  от   до  , заменим подинтегральную функцию интерполяционным полиномом и вычислим интеграл. Так как на промежуток от   до  попадают только три точки:  ,    и  , то на взятом промежутке можно построить полином не выше второй степени  . Вычисляем:

 

.

  Для вычисления интегралов выполним замену  ,  ;  новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . 

.

  Для двух следующих интервалов  от   до  таким же способом получим  .  Для третьей пары интервалов от   до      и  т. д.  Чтобы получить приближённое численное значение интеграла на всём промежутке , необходимо просуммировать правые части полученных формул, тогда

  .

  Эта формула называется алгоритмом парабол (алгоритмом Симпсона) численного интегрирования.

  Для оценки погрешности полученного значения интеграла на практике часто начинают вычисление с некоторым чётным , затем повторяют вычисление с удвоенным значением . Считают, что совпадающие десятичные знаки обоих результатов принадлежат точному значению интеграла, и за приближённое значение интеграла берут любое из найденных значений. Если точность недостаточна, снова удваивают значение .

  Пример. Вычислить интеграл с точностью . 

2.00
2.25
2.50
2.75
3.00

  Решение. Интеграл не выражается через известные функции, поэтому его значение можно получить только численными методами. Для применения численных методов необходимо получить таблицу подынтегральной функции. Возьмём .

Вычисляем интеграл по алгоритму парабол:

Чтобы оценить точность полученного результата, удвоим , вычислим таблицу   при новых значениях аргумента и интеграл по алгоритму парабол.

2.00
2.125
2.25
2.375
2.50
2.625
2.75
2.875
3.00

Вычисляем таблицу при , тогда :

  .

В и  совпадают только цифры десятых, поэтому точность вычисления интеграла недостаточна и необходимо снова удвоить .

Итак, , строим таблицу значений подынтегральной функции, затем вычисляем интеграл

2.00
2.0625
2.125
2.1875
2.25
2.3125
2.375
2.4375
2.50
2.5625
2.625
2.6875
2.75
2.8125
2.875
2.9375
3.00

 

  Точность и на этот раз оказывается недостаточной, поэтому выбираем , рассчитываем новую таблицу и вычисляем

В S3 и  S4 совпадают цифры десятых и сотых, заданная точность достигнута, ответом будет

с точностью .

Задача 6. Вычислить  интеграл с точностью   по алгоритму парабол.

  Литература.

1. Калиткин методы  / – М.: Наука, 1978 

2. Демидович вычислительной математики / ,   – М: Наука, 1970

3. Копчёнова математика в примерах и задачах  / , – М.: Наука, 1972