1.2.1 Координаты вектора ;

1.2.2 Длину стороны AB;

1.2.3 угол между векторами и ;

1.2.4 Площадь грани ABC;

1.2.5 Вектор нормали к грани ABC;

1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD;

1.2.7 Объем тетраэдра ABCD;

1.2.8 Уравнение плоскости, параллельной плоскости ABC и проходящей через точку D;

1.2.9 Уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C;

1.2.10 Расстояние от точки D до плоскости ABC;

1.2.11 Расстояние от точки C до прямой AB;

1.2.12 Координату точки O, где O - проекция точки D на плоскость ABC;

1.2.13 Координату точки P, где P - проекция точки C на прямую AB;

1.3 Найти проекции скорости и ускорения точки, а также угол между скоростью и ускорением в заданный момент времени, если координаты x и  y заданы, условиями:

1.3.1 x = sin(t2),  y = cos(t2), t = 1;

1.3.2 x = sin(t)-cos(2t),  y = cos(t2),  t = 1;

1.3.3 x = sin2(t),  y = cos(t),  t = 2.

1.4 Найти координаты центра масс системы трех частиц с массами m1, m2 и m3, расположенных в точках A1, A2  и A3:

1.4.1 m1 = 2,  m2 = 4,  m3 = 3, A1 (0,0,2), A2 (1,1,0), A3 (0,1,1);

1.4.2 m1 = 1,  m2 = 2,  m3 = 2, A1 (1,0,1), A2 (0,2,3), A3 (1,1,1);

1.4.3 m1 = 3,  m2 = 4,  m3 = 1, A1 (2,0,0), A2 (1,2,1), A3 (-1,1,1);

1.4.4 m1 = 3,  m2 = 1,  m3 = 2, A1 (-1,0,1), A2 (2,3,0), A3 (1,0,2).

1.5 Упростить выражения:

1.5.1 ;

1.5.2 ;

1.5.3 ;

1.5.4 .

Доказать справедливость тождества:

1.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A и  перпендикулярной вектору , и уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору :

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1.7.1 A(1,2,-3, ), (5,7,-6);

1.7.2 A(-2,0,1, ), (-1,2,4);

1.7.3 A(1,2,-1, ), (0,1,-1).

1.8 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

.

2. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Если в каждой точке пространства задан скаляр - это скалярное поле. Если в каждой точке пространства задан вектор - это векторное поле.

Приращение скалярного поля при перемещении на вектор равно: .

Градиент – это вектор с компонентами . Величина , где θ - угол между векторами градиент и . Отсюда следует, что направление вектора - это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении.

Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. В этих точках .

Силовое поле - это векторное поле, значение которого в каждой точке пространства равно силе, действующей на частицу в этой точке.

Потенциальное силовое поле – это силовое поле, работа по перемещению частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом случае можно ввести скалярное поле потенциальной энергии , связанное с силовым полем соотношением: .

Плотность потока тепла - количество тепловой энергии, протекающей в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом температуры соотношением: , где - скалярное поле температуры, - коэффициент теплопроводности.

Задачи

2.1 Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума,  направление наискорейшего роста в заданной точке (x0, y0, z0), а также уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке:

2.1.1 (x2-y2+z);

2.1.2 (x3-3y2z+y2+3z2);

2.1.3 (x2-5x+7y2-y+6z2+3);

2.1.4 (5x3-8y2z+4y2+4z2+6);

2.1.5 (6x4+8xyz2+7x2z+y+6)

2.2 Найти компоненты вектора градиент:

2.2.1grad(r), где ;

2.2.2 grad(), где ;

2.2.3 grad ();

2.2.4 grad (ln());

2.2.5 grad (), где - постоянный вектор, ;

2.2.6 grad (ln), где - постоянный вектор, ;

2.2.7 grad (f(r));

2.2.8 grad(f(ρ));

2.2.9 grad (f()), где - постоянный вектор;

2.2.10 grad(f(ρ, z));

2.2.11 grad (f()g());

2.2.12 grad (), где - постоянный вектор;

2.2.13 grad, где и - постоянные векторы;

2.2.14 grad (exp(-αr));

2.2.15 grad (exp(-));

2.2.16 grad (exp(-αρ));

2.2.17 grad (exp(-));

2.2.18 grad (sin());

2.2.19 grad (sin()).

2.2.20 , 

2.2.21

2.2.22

2.2.23

2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции exp (-r2), r=||.

2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции (x2+y2-3z) в точке А(-1, 2, -1).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6