Методические указания для студентов физического факультета к решению задач по курсу Основы векторного и тензорного анализа (стр. 4 )

3.2.2 - окружность радиуса с центром в начале координат, расположенная в плоскости , положительная нормаль .

3.2.3 Найти поток поля через поверхность сферы радиуса r с центром в начале координат.

3.3 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля  , где :

3.3.1 (x-y; z+y-x; 2z);

3.3.2 (2x-z; y+z-x; 2x+y-z).

3.4 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :

3.4.1 ;

3.4.2 ;

3.4.3 ;

3.4.4 .

3.5 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для сферы радиуса с центром в начале координат и поля , где :

3.5.1 ;

3.5.2 ;

3.5.3 ;

3.5.4 ;

3.5.5 .

3.6 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.6.1 ;

3.6.2 ;

3.6.3 ;

3.6.4 ;

3.6.5 

3.7 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.7.1 ;

3.7.2 ;

3.7.3 ;

3.7.4 ;

3.7.5 .

3.8 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для сферы радиуса R с центром в начале координат и поля :

3.8.1 ;

3.8.2 .

3.9 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.9.1 ;

3.9.2 .

3.10 Проверить теорему Остроградского - Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.10.1 ;

3.10.2 .

4. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА СТОКСА

Циркуляция AL векторного поля по замкнутому контуру L - скалярная величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков , на которые разбит конур L, и векторов в средних точках этих участков: . При сумма переходит в интеграл по контуру L: . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы циркуляций по границам Lk малых площадок , на которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и Lk, для которых вычисляются циркуляции: . Чтобы записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны . Это возможно, если существует векторное поле, называемое ротором поля такое, что . При циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой Стокса: . Положительное направление нормали для поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта.

Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением: . Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов:

Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, заданного на плоскости (x, y): и замкнутого контура L, заданного на плоскости (x, y). Тогда: , и . Тогда из теоремы Стокса следует формула Грина:

.

Задачи

4.1 Найти:

4.1.1 ;

4.1.2 ;

4.1.3 ;

4.1.4 ;

4.1.5 ;

4.1.6 ;

4.1.7 ;