Методические указания для студентов физического факультета к решению задач по курсу Основы векторного и тензорного анализа (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. В. ВЕДРИНСКИЙ, А. А. НОВАКОВИЧ

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ

для студентов физического факультета 

к решению задач по курсу

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Часть 1

Ростов-на-Дону

2006

Методические указания разработаны доктором  физико-математических

наук, профессором кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ
, и кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ  .

Ответственный редактор  доктор физико-математических наук,

  профессор  .

Компьютерный набор и верстка  студентка  .

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и

вычислительной физики физического факультета РГУ,

протокол № 15 от 14 февраля 2006 г. 

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Элементы векторной алгебры …………………………………………стр. 4

2. Градиент скалярного поля ……………………………………………..стр. 9

3. Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского - Гаусса …стр.12

4. Ротор векторного поля и теорема Стокса …………………………….стр.17

5. Комбинированные задачи векторного анализа ………………………стр.22

6. Задачи на использование метода оператора набла …………………..стр.24

Литература ………………………………………………………………стр.29

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

       Большинство физических величин являются скалярными или векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его компоненты, зависящие от выбора системы координат.

Скаляр – однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т. д.

Вектор – трехкомпонентная величина , компоненты (проекции) которой преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т. д.

Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z (x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.

Единичные орты – три единичных вектора (), направленные по соответствующим координатным осям. (В математической литературе их чаще обозначают .)

Линейная комбинация векторов - , где α, β - вещественные числа. ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

Скалярное произведение векторов - скаляр, со следующими свойствами: 1. ,  2. ,

3. .

Скалярное произведение двух векторов и равно

или

где и – длины векторов и , - угол между векторами и , , и - проекции вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).

                                       

Векторное произведение векторов - вектор, со следующими свойствами: 1. , 2. , . Модуль векторного произведения – это площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:

                                       

Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле, которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения:

                                                =

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле «бац минус цаб»:

                               

Смешанное произведение векторов: - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей:

Если хотя бы два вектора-сомножителя коллинеарны, смешанное произведение равно 0.

СПФ вычисляется по формуле:

где V –объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , знак “+” - в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка векторов левая.

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку в векторной форме имеет вид

или в компонентах:

Уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку имеет вид:

,

где α - любое вещественное число. Учитывая, что величина α одна и та же для всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в компонентах, имеет вид:

Задачи

Выразить косинус угла между векторами и через направляющие косинусы этих векторов (направляющие косинусы - косинусы углов между вектором и осями координат).

1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3). Найти: