2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций (x2+2y2-z2) и r=|| в точке А(-1, 1, 1).

2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y2-z).

2.3.5.. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке. - радиус-вектор, - постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).

3.ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА

Вектор площадки направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Поток ΔΦ векторного поля через площадку в точке равен .

Поток Φ векторного поля через поверхность S равен сумме потоков этого поля через все площадки , на которые разбита поверхность S. При сумма превращается в интеграл по поверхности S: , где  - средняя точка на площадке .

Поток ΦS векторного поля через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков через поверхности дифференциально малых объемов , на которые можно разбить замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: . Чтобы последняя сумма была интегральной (и для нее существовал предел при m→∝), необходимо, чтобы потоки были пропорциональны соответствующим объемам .

Дивергенция векторного поля в точке - это скаляр, равный: , где - средняя точка в объеме . Отсюда следует, что в пределе при сумма по m становится интегралом по объему V: . Представляя этот поток в виде интеграла по поверхности S, ограничивающей объем V, мы приходим к теореме Гаусса: .

Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными его компонент: .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности ρ жидкости в каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости жидкости в этой же точке: . Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.

Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме - дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда ρ в каждой точке и дивергенцию плотности электрического тока в этой же точке: . Выводится из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение для температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде УТ имеет вид: , где a – коэффициент температуропроводности.



Задачи

3.1 Найти:

3.1.1 ;

3.1.2 ;

3.1.3 ;

3.1.4 ;

3.1.5 ;

3.1.6 ;

3.1.7 ;

3.1.8 ;

3.1.9 ;

3.1.10 ;

3.1.11 , где - постоянный вектор;

3.1.12 , где и - постоянные вектора;

3.1.13 , где и - постоянные вектора;

3.1.14 ;

3.1.15 ;

3.1.16 , где - постоянный вектор;

3.1.17 , где - постоянный вектор;

3.1.18

3.1.19

3.1.20

3.1.21

3.1.22 ,

3.1.23

3.2 Найти поток поля через поверхность , где поверхность имеет вид:

3.2.1 - единичный квадрат, расположенный в плоскости (стороны квадрата параллельны осям и ), положительная нормаль .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6