5.4.2 .

5.5 Упростить выражение с предварительным использованием методов векторной алгебры и вычислить:

5.5.1 ;

5.5.2 ;

5.5.3 ;

5.5.4 ;

5.5.5 ;

5.5.6 ;

5.5.7 ;

5.5.8 .

6. ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРА НАБЛА

Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты и его можно представить в виде: . Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла», проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только учитывать, что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению он должен стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать. Так - это дивергенция поля , а - скалярный дифференциальный оператор: . Понятно, что , , .

Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго порядка: .

С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей справедливо: , , . Надо иметь в виду, что последний член – это вектор с компонентами .

Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла проводится по следующей схеме:

Вместо операций grad, div, rot и вводим операции с использованием оператора набла:

Анализируем, на какие функции оператор набла действует как дифференциальный оператор. По определению эти функции должны располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:


Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом примере:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?


Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не действуют. Так:

=

=


Поскольку операторы набла оказываются в позициях, где они автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы, убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости обозначения grad, div, rot и . В рассматриваемом примере окончательно получаем:

где

Задачи

6.1 Записать следующие выражения, используя вместо оператора набла операции grad, div, rot и :

6.1.1 ;

6.1.2 ;

6.1.3 ;

6.1.4 ;

6.1.5 ;

6.1.6 ;

6.1.7 ;

6.1.8 ;

6.1.9 ;

6.1.10 ;

6.1.11 ;

6.1.12 ;

6.1.13 ;

6.1.14 ;

6.1.15 .

6.2 Преобразовать выражение методом оператора набла и затем расписать в частных производных:

6.2.1 ;

6.2.2 ;

6.2.3 ;

6.2.4 ;

6.2.5 ;

6.2.6 ;

6.2.7 ;

6.2.8 , где - постоянный вектор;

6.2.9 , где - постоянный вектор;

6.3 Расписать в частных производных:

6.3.1

6.3.2 ;;;

6.3.3 ;

6.3.4 ;

6.3.5 ;

6.3.6 ;

6.3.7 .

6.4 Найти напряженность электрического поля , если задан потенциал :

6.4.1 ;

6.4.2 .

6.5 Найти плотность электрических зарядов в вакууме , если задана напряженность электрического поля :

6.5.1 ;

6.5.2 .

ЛИТЕРАТУРА

1. . Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.- С. 313- 409.

2. Савельев обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. , . Сборник задач по электродинамике.- М.: Наука, 1970.- С. 9- 22.

4. , . Векторный анализ и начала тензорного исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.- С. 216.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6