ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ

       Математические выражения и их тождественные преобразования составляют одну из содержательно – методических линий школьного курса алгебры. Основная цель изучения этого материала состоит в развитии  формально – оперативных умений до уровня, позволяющего их использовать при решении задач математики  и смежных предметов (физики, химии, основ информатики и др.). Вместе с тем, изучение тождественных преобразований должно способствовать совершенствованию алгоритмической и вычислительной культуры учащихся, а также развитию  умения решать уравнения,  неравенства и их системы.

       Математическое содержание темы изложено в лекции по НПОПМ.

Содержание учебного материала

I. Основная школа.

7 класс.

Формируются следующие понятия: числовое выражение и  значение выражения; выражение  с переменными; значение выражения с переменной; выражение, имеющее смысл и не имеющее смысла; тождественно равные выражения; тождество; тождественное преобразование выражения.

        Рассматриваются целые рациональные выражения – одночлены и многочлены. Изучаются действия над одночленами: приведение к стандартному виду и умножение; действия над многочленами:  сложение, вычитание, умножение, в частности, тождества сокращённого умножения, разложение на множители.

8 класс.

       Происходит расширение понятийного аппарата: вводится понятие допустимых значений переменной, уточняется понятие тождества. Так как в 6 классе изучаются целые выражения, то тождество определяется как равенство, верное при всех значениях переменных.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

       В 8 классе        изучаются дробно–рациональные выражения. В соответствии с приведённым определением равенство =а-1 не являются тождеством, так как при а=-1 оно не является верным. Поэтому понятие тождественного равенства уточняется: тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

       Рассматриваются действия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение (возведение в степень), деление.

       В 8 классе формируются  понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня, изучаются свойства арифметических квадратных корней, на основании которых рассматриваются их следующие тождественные преобразования: преобразование корня из произведения, дроби, степени и обратные преобразования; вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под корень, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

       В 8 классе вводится понятие степени с целым показателем, изучаются её свойства и тождественные преобразования степеней на основе этих свойств.

9 класс.        

В 9 классе линия тождественных преобразований не представлена.        

Полная школа (10, 11 классы)

       Изучаются тождественные преобразования тригонометрических выражений, в основе которых лежат основные понятия тригонометрии (синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа) и формулы их взаимосвязи.

        Вводятся понятия корня  п – ой степени и арифметического корня п-ой степени, изучаются свойства арифметических корней п-ой степени, на основании которых выполняются тождественные преобразования иррациональных выражений, перечисленные для квадратных корней.

       Определяется степень с рациональным показателем, изучаются её свойства, рассматриваются тождественные преобразования степенных и показательных выражений.

       Формируется понятие логарифма числа в по основанию а (logab), рассматриваются его свойства, на основании которых выполняются тождественные преобразования логарифмических выражений/

       Приведём примеры заданий на тождественные преобразования выражений из курса алгебры средней школы.

№ 1. (7 класс) Разложить на множители:

1)   2);  3) ;  4).

№ 2. (8 класс) Выполнить действия:

.

№3. (8 класс) Упростить выражение:

1)  а)

  б) при х >4.

2) (8, 11 класс) Вычислить значение выражения:

№4 . (10 класс) Доказать тождество:

№ 5. (11 класс) Упростить выражение:

№ 6. Упростить выражение:

№ 7. Вычислить:

       Методические аспекты обучения тождественным преобразованиям рассмотрим на примере изучения разложения многочленов на множители методом вынесения общего множителя за скобки.

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

1. РАСПОЗНАВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВИДА

Результаты проведенного теоретического и экспериментального исследования показали, что прежде, чем учить школьников применять правило преобразования, им следует представить те выражения (первоначально простейшие), которые могут быть преобразованы посредством этого правила, и научить их распознавать такие выражения.

С этой целью при изучении вынесения общего множителя за скобки  учащимся первоначально предлагается рассмотреть выражения, представляющие собой алгебраическую сумму, слагаемые которой – произведения, имеющие общий множитель. Примерами таких выражений могут служить

Далее учащимся сообщается, что  для вынесения общего множителя за скобки перечисленные особенности выражения называют условиями выполнимости преобразования, а выражения, удовлетворяющие этим условиям, -  выражениями приведенного вида.

Условимся  выражения приведенного вида изображать схематически на основании следующих соглашений. С помощью схемы  +  +…+  ,  в круглый контур которой может быть вписан любой одночлен (число), будем изображать многочлены. Тогда выражения, удовлетворяющие условиям выполнимости  вынесения общего множителя за скобки,  могут быть изображены посредством схемы:  ∙  +  ∙  +…+  ∙  , 

где с помощью одноцветной закраски показано, что контуры схемы следует «заполнять» одинаковым образом. Использование таких схем  направлено на формирование  обобщенного образа выражения приведенного вида независимо от того является оно числовым или алгебраическим.

Условия выполнимости преобразования и схема выражения приведенного вида выписываются на дидактическую карточку. Приведем ее образец.

Дидактическая карточка 1.

Вынесение общего множителя за скобки

Условия выполнимости преобразования.

Выражение является алгебраической суммой (в частности, многочленом). Слагаемые – произведения. Произведения содержат общий множитель.

Схема:        ∙        +         ∙        + … +        ∙        .

Замечание. Закрашенный контур, обозначающий общий множитель, может располагаться в произведении на любом месте.

Перечисленные условия выполнимости преобразования позволяют распознавать выражения приведенного вида.

Учащимся сообщается, что распознать выражение приведенного вида – это значит проверить наличие каждого из условий, перечисленных в карточке и сделать вывод. Для формирования  умения распознавать выражения  приведенного вида  предлагаются следующие упражнения.

№1. Какие из следующих выражений удовлетворяют условиям выполнимости преобразования?

1) 0,5а+0,5в;  3)   5)  

2)   4)   6) 6,3.

№2. Проверьте, что выражения  и 0,4∙1,8+0,4∙1,2 являются выражениями приведенного вида, а выражения  а-2у  и  не являются такими выражениями.

№3. Приведите примеры двух выражений (числового и содержащего переменные), которые удовлетворяют условиям выполнимости

преобразования.

№4.Укажите номера выражений, являющихся выражениями приведенного

вида:

1)   4)   7) 1,6∙1,8+1,6∙8,1;

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4