Скумбрия (стр. 2 )

№	Тема	Часы
Практ.	С. р.
Модуль 1. Алгебра матриц
1	Сложение матриц и умножение матрицы на число	2	2
2	Умножение матриц.	2	2
3	Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы.	2	2
4	Разложение матрицы в произведение простейших.	2	2
Модуль 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
5	Метод Гаусса. Определенные СЛАУ.	2	2
6	Неопределенные и несовместные СЛАУ	4	4
7	Решение матричных уравнений и отыскание обратной матрицы.	4	4
Модуль 3. Определители.
8	Перестановки. Четные и нечетные перестановки.	4	4
9	Определитель и его члены.	2	2
10	Вычисление определителей второго и третьего порядков.	2	2
11	Вычисление числовых определителей методом Гаусса.	4	4
12	Определители произвольного порядка.	4	4
13	Формула обратной матрицы. Формулы Крамера.	4	4
Модуль 4. Комплексные числа.
14	Поле комплексных чисел	3	3
15	Извлечение корней из комплексных чисел.	3	3
Модуль 5. Многочлены.
16	Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости..	3	3
17	Корни многочленов. Разложение многочленов коэффициентами на множители.	3	3

РАБОЧАЯ  ПРОГРАММА КУРСА

"Алгебра"

Курс-1, семестр-1

КЛЮЧЕВЫЕ  СЛОВА: матрица, операция, система уравнений, определитель, комплексное число, многочлен.

Модуль 1. Алгебра матриц.

Лекции 1-5

Цель обучения

Освоение аппарата алгебры матриц, метода разложения матрицы в произведение простейших. Применение его к задаче обращения матрицы и решению простейших матричных уравнений.

       1.1. Основные определения. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

       Числовая матрица. Элементы, столбцы и строки матрицы. Виды матриц. Принцип равенства. Операция транспонирования матрицы и ее свойства. Операция сложения матриц и ее свойства. Операция умножения матрицы на число и ее свойства.

       1.2. Умножение матриц.

Скалярное произведение арифметических векторов и его свойства. Условие перемножимости матриц и операция умножения. Свойства операции умножения. Теория делимости квадратных матриц. Понятие группы. Мультипликативная группа квадратных обратимых матриц одного порядка.

       1.3. Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы.

Элементарные преобразования матриц и их свойства. Элементарные обратимые матрицы и их свойства. Приведение произвольной матрицы элементарными преобразованиями к стандартному диагональному виду. Матрицы приведенного вида. Разложение произвольной матрицы в произведение простейших.

       1.4. Критерий обратимости квадратной матрицы.

Первый критерий обратимости квадратной матрицы. Простейшие матричные уравнения с обратимыми коэффициентами. Теорема существования и единственности решения для этих уравнений.

Литература

Теория-[1], Гл.1, [2], §13, [4], [5].

Практика--[10], [7], Гл.3,§1, [8], Гл.3, §1.

Модуль 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Лекции 6-8

Цель обучения

Овладение студентами методом Гаусса исследования систем линейных алгебраических уравнений всех типов (совместных, несовместных, определенных, неопределенных, однородных, неоднородных).

       2.1. СЛАУ. Классификация. Матричная форма.

Решение СЛАУ. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные СЛАУ. Равносильные СЛАУ. Эквивалентное матричное уравнение.

       2.2. Метод Гаусса решения СЛАУ.

Элементарные преобразования над СЛАУ. Приведенные СЛАУ. Метод Гаусса решения СЛАУ. Обоснование метода Гаусса. Общее и частное решение СЛАУ. Критерии совместности, определенности и неопределенности СЛАУ. Однородные СЛАУ, критерий существования ненулевого решения. Достаточное условие.

       2.3. Решение матричных уравнений и отыскание обратной матрицы.

Сведение матричных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений  специального вида. Применение метода Гаусса к решению матричных уравнений. Выяснение обратимости квадратной матрицы и отыскание обратной матрицы методом Гаусса.

Литература

Теория-[1], Гл.2, [5].

Практика--[11], [7], Гл.4, §§1-3, [8], Гл.2, §§9,11, [9], Гл.1.

Модуль 3.Определитель.

Лекции 9-17

Цель обучения

Овладеть техникой вычисления числовых определителей, освоить основные методы вычисления буквенных определителей. Овладеть приложениями определителя к нахождению обратной матрицы и решению систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

       3.1. Появление определителей в теории СЛАУ. Перестановки и их свойства.

Появление определителей в теории СЛАУ. Биективные отображения и их свойства. Перестановки и их свойства. Группа перестановок одной степени. Циклические перестановки, транспозиции и простые транспозиции. Разложение произвольной перестановки в произведение циклов, транспозиций и простых транспозиций.

       3.2. Четные и нечетные перестановки. Сигнатура перестановки.

Инверсии. Подсчет числа инверсий в перестановке. Четные и нечетные перестановки. Критерии четности и нечетности. Подгруппа четных перестановок одинаковой степени. Сигнатура перестановки и ее свойства.

       3.3. Определение определителя квадратной матрицы и его основные свойства

Определение определителя квадратной матрицы и его анализ для малых размерностей. Основные свойства определителя: реакция на транспонирование матрицы, равноправие строк и столбцов определителя, реакция определителя на элементарные преобразования над матрицами, определители матриц с нулевой строкой и с пропорциональными строками.

       3.4. Вычислительные свойства определителя

Определители диагональных и треугольных матриц. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду при сохранении ее определителя.

       3.5. Минор и алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.

Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Понятие о теореме Лапласа. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Метод Гаусса для вычисления определителей.

       3.6. Первые приложения определителя.

Определитель произведения двух матриц. Лемма о «трансплантации». Критерий обратимости матрицы и формула обратной матрицы. Теорема Крамера.

Литература

Теория-[1], Гл.3, [2], Гл.1, [3], Гл.3, [6].

Практика--[12], [7], Гл.3, §§2-5, [8], Гл.1, §§1-7.

Модуль 4.Комплексные числа.

Лекции 18-20

Цель обучения

       Освоение понятия комплексного числа и его геометрической интерпретации. Выработка навыков работы с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Овладение методикой извлечения корней из комплексных чисел и решения квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

       4.1. Поле комплексных чисел. .

Числовые поля. Подполе. Поля R и Q. Поле С комплексных чисел. Отождествление поля R с подполем поля С. Алгебраическая форма записи комплексного числа и арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и комплексная плоскость. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа и их свойства. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

       4.2. Извлечение корней из комплексных чисел.

Извлечение корней из комплексных чисел. Решение квадратных уравнений над полем комплексных чисел. Корни из единицы и их свойства. Первообразные корни. Операция комплексного сопряжения и ее свойства.

Литература

Теория - [2], Гл.4, [3], Гл.5,§1.

Практика--[13], [7], Гл.2, §§1-4.

Модуль 5. Многочлены.

Лекции 21-24

Цель обучения

       Освоение навыков оперирования с многочленами от одной переменной с комплексными и вещественными коэффициентами. Овладение теорией и практикой корней многочленов и методами представления их в виде произведения неприводимых множителей.

5.1. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости.

Операции над многочленами. Кольцо многочленов над полями Q, R, C.  Степень многочлена и ее свойства. Алгоритм деления с остатком. Теория делимости. НОД и НОК двух многочленов. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД двух многочленов. Критерий взаимной простоты двух многочленов. Свойства взаимно простых многочленов.

       5.2. Корни многочленов. Разложение многочленов коэффициентами на множители

Теорема Безу. Следствие. Схема Горнера. Многочлены над полем С. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители. Каноническое разложение. Простые и кратные корни. Связь между корнями многочлена и его производной.  НОД двух многочленов и их корни. Критерий простоты корней многочлена. Формулы Виета. Многочлены над полем R. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на неприводимые множители степени не выше второй. Теорема о существовании вещественного корня у многочлена нечетной степени.