Скумбрия (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Рассмотрено и рекомендовано на заседании кафедры Алгебры и дискретной математики мехмата  ЮФУ Протокол №  от  2008 г. Зав. кафедрой ___________.

УТВЕРЖДАЮ Декан мехмата _____________ «_____» ________________ 2008 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

учебной дисциплины

«Алгебра»

для программы бакалавриата

по направлению

МАТЕМАТИКА

Составитель: к. ф.-м. н., доцент

Ростов-на-Дону

2008

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка………………………………………………………………………….3

Междисциплинарные связи курса «Алгебра»…………………………………………………6

Учебно–тематический план дисциплины………………………………………………………7

Рабочая программа курса………………………………………………………………………..9

Литература………………………………………………………………………………………13

Технология обучения студента……………………………………………………………….14 Программа коллоквиума……………………………………………………………………….14

Контрольные вопросы к коллоквиуму………………………………………………………..15

Таблица выставления итоговой оценки по курсу…………………………………………….16

Контрольные работы…………………………………………………………………………...17

Самостоятельные работы………………………………………………………………………23

Программа экзамена……………………………………………………………………………28

Экзаменационные билеты (образцы)...………………………………………………………..29

Примеры к экзаменационным билетам (образцы)……..…………………………………….30

Тест на проверку остаточных знаний по практике…………………………………………..31

Глоссарий………………………………………………………………………………………..32

Программа курса

«Алгебра»

       для программы бакалавриата

по направлению

МАТЕМАТИКА

Число часов:102 – 1курс, 1 семестр

Всего: 204

Аудиторно: лекции – 51, практические занятия-51

Самостоятельная работа:102

Пояснительная записка

Настоящий курс является базовым и предназначен для освоения студентами первичного аппарата высшей алгебры, используемого во всех разделах математики.

       Цели курса.  Освоение алгебры матриц, теории систем линейных алгебраических уравнений, теории определителей, теории комплексных чисел и теории многочленов от одной переменной. Формирование у студентов представления о месте «алгебры» в системе математических дисциплин и их приложений, о ее связях с «геометрией», «анализом»,  «дискретной математикой», «теорией кодирования». Выработка у студентов практических навыков использования аппарата алгебры как в самой алгебре, так и в других математических дисциплинах.

Задачи курса.  Освоение алгебры матриц (изучение операций над матрицами, техники элементарных преобразований матриц и разложения матрицы в произведение простейших, методов обращения матриц и решения простейших матричных уравнений).

Освоение начальной теории систем линейных алгебраических уравнений с использованием метода Гаусса и упором на овладение навыками практического решения определенных и неопределенных систем уравнений, нахождения обратных матриц, решения матричных уравнений.

Освоение теории определителей (изучение элементарной техники перестановок, методов вычисления определителей как по определению, так и с помощью метода Гаусса, получение представления о методах вычисления определителей произвольного порядка). Приложения определителей к построению общей формулы обратной матрицы и к получению формул Крамера решения определенной квадратной СЛАУ.

Освоение комплексных чисел (гауссово определение комплексного числа, алгебраическая и тригонометрическая формы, связь с геометрией, извлечение корней и группа корней из единицы). Выработка у студента практических навыков действий с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, уверенного проведения геометрической интерпретации.

Освоение теории многочленов от одной переменной (операции над многочленами, деление многочленов с остатком, нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов).

Полная теория корней многочленов с комплексными коэффициентами на основе «основной теоремы алгебры». Выработка у студента практических навыков разложения многочлена на линейные множители, определения наибольшего общего делителя двух многочленов через их корни, определения кратности корня с использованием схемы Горнера, нахождения всех рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами, разложения многочленов с вещественными коэффициентами на неприводимые множители над полем вещественных чисел.

Актуальность курса. Курс «алгебры» входит в тройку основных математических курсов (вместе с «математическим анализом» и «аналитической геометрией») первого семестра, выстаивающих фундамент образования по направлению МАТЕМАТИКА. В этом курсе студент знакомится с основным алгебраическим аппаратом и овладевает навыками владения им, которые необходимы ему на протяжении всего обучения, как при изучении дальнейших алгебраических курсов, так и при изучении смежных математических дисциплин.

Этот курс призван решать пропедевтические и адаптационные задачи при переходе от школьного обучения к университетскому. Ввиду разнообразия вводимых и изучаемых новых понятий (комплексные числа, матрицы, системы уравнений, определители, многочлены) основной упор делается на освоение и выработку практических навыков работы с алгебраическими объектами. Обучение теоретическим рассуждениям проводится в «мягкой форме» (исключение сложных доказательств, строгое владение определениями и формулировками, простыми доказательствами).

В средине семестра обязательно проводится коллоквиум по теории. С начала семестра вводится институт еженедельных консультаций.

Весь учебный курс состоит из 5 учебных модулей:

Алгебра матриц. Системы линейных алгебраических уравнений. Определители. Комплексные числа. Многочлены.

Материал первых трех наиболее трудных модулей курса  изложен в учебном пособии автора «Алгебра. Лекции и практика», существующем как в электронном виде, так и в виде отдельных брошюр, имеющихся в библиотеке. Теоретический материал последних двух модулей обеспечивается классическим учебником «Высшая алгебра», имеющимся в библиотеке. Практически занятия обеспечены двумя классическими задачниками и , , новым задачником и четырьмя выпусками методических указаний, подготовленных автором совместно с , имеющимися в библиотеке.

Курс завершается зачетом и экзаменом. Трудоемкость курса может быть оценена как средняя.

Междисциплинарные связи курса «Алгебра»

       Для изучения курса «Алгебра» студенту достаточно владеть основами элементарной математики в объеме курса, изучаемого в средней школе. В процессе изложения материала по данному курсу привлекаются элементы теории множеств и отображений из курса «Дискретная математика». В то же время материал курса «Алгебра» и, прежде всего, алгебраический аппарат всех его пяти модулей необходим для всех математических дисциплин, изучаемых на 1-4 курсах отделения «математика». Более того,  этот аппарат является неотъемлемой частью всех специальных математических курсов, изучаемых на этом отделении.

Граф междисциплинарных связей

Учебно-тематический план дисциплины

Лекционные занятия

№	Тема	Часы
Лекции	С. р.
Модуль 1. Алгебра матриц
1	Основные определения. Сложение матриц и умножение матрицы на число	2	2
2	Умножение матриц.	3	3
3	Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы.	2	2
4	Критерий обратимости квадратной матрицы.	2	2
Модуль 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
5	СЛАУ. Классификация.	2	2
6	Метод Гаусса решения СЛАУ	2	2
7	Решение матричных уравнений и отыскание обратной матрицы.	2	2
Модуль 3. Определители.
8	Появление определителей в теории СЛАУ. Перестановки и их свойства.	3	3
9	Четные и нечетные перестановки. Сигнатура перестановки.	3	3
10	Определение определителя квадратной матрицы и его основные свойства	3	3
11	Вычислительные свойства определителя.	3	3
12	Минор и алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.	3	3
13	Первые приложения определителя	3	3
Модуль 4. Комплексные числа.
14	Поле комплексных чисел. Алгебраическая  и  тригонометрическая формы комплексного числа.	3	3
15	Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы. Операция комплексного сопряжения.	3	3
Модуль 5. Многочлены.
16	Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости. НОД и НОК двух многочленов.	6	6
17	Корни многочленов. Разложение многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами на неприводимые множители.	6	6

Практические занятия