Выпускная квалификационная работа бакалавра (стр. 5 )

                               (1.4)

Коэффициенты в, могут задаваться заранее в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали, например, где а < 1. К сожалению, формальных процедур выбора параметра не разработано, и он выбирается исследователем произвольно.

Метод наименьших квадратов широко применяется для получения конкретных прогнозов, что объясняется его простотой и легкостью реализации на ЭВМ. Недостаток метода состоит в том, что модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить надежный прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относится главным образом к методам краткосрочного прогнозирования. Кроме того, существенной трудностью МНК является правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взвешенном методе наименьших квадратов.

Метод экспоненциального сглаживания

Весьма эффективным и надежным методом прогнозирования является экспоненциальное сглаживание. Основные достоинства метода состоят в возможности учета весов исходной информации, в простоте вычислительных операций, в гибкости описания различных динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для реализации среднесрочных прогнозов. Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания б, начальных условий и степени прогнозирующего полинома.

Пусть исходный динамический ряд описывается уравнением

       

                                               (1.5)

       

Метод экспоненциального сглаживания, являющийся обобщением метода скользящего среднего, позволяет построить такое описание процесса (1.5), при котором более поздним наблюдениям при - даются большие веса по сравнению с ранними наблюдениями, при - чем веса наблюдений убывают по экспоненте. Выражение        

                               (1.5)

называется экспоненциальной средней k-го порядка для ряда уt, где б – параметр сглаживания.

В расчетах для определения экспоненциальной средней пользуются рекуррентной формулой

;                                (1.7)

Использование соотношения (1.7) предполагает задание начальных условий . Для этого можно воспользоваться формулой Брауна– Мейера, связывающей коэффициенты прогнозирующего полинома с экспоненциальными средними соответствующих порядков

               

                       (1.8)

где р = 1, 2, ..., n + 1; – оценки коэффициентов; p = 1−б. Можно получить оценки начальных условий, в частности, для линейной модели

                                                                       (1.9)

                               

для квадратичной модели –

       

                               

                                                               (1.10)

                               

Зная начальные условия и значения параметра б, можно вычислить экспоненциальные средние .

Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определяются через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна – Мейера. В этом случае коэффициенты и находятся решением системы (р + 1) уравнений с к (р + 1) неизвестными, связывающей параметры прогнозирующего полинома с исходной информацией. Так, для линейной модели получим,

                                                                               (1.11)

                               

для квадратичной модели –

                                                               (1.12)

               

               

Прогноз реализуется по выбранному многочлену. Соответственно для линейной модели , для квадратичной модели , где ф - период прогноза.

Важную роль в методе экспоненциального сглаживания играет выбор оптимального параметра сглаживания б, так как именно он определяет оценки коэффициентов модели, а, следовательно, и результаты прогноза.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по - разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше б, тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий быстро убывает. При малом б прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более «старой» информации происходит медленно.

Известны два основных соотношения, позволяющие найти при - ближенную оценку б. Первое соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней , где N – число точек ряда, для которых динамика ряда считается однородной и устойчивой (период сглаживания). Вторым является соотношение Мейера , где - среднеквадратическая ошибка модели; - среднеквадратическая ошибка исходного ряда.