Описание взрыва как фазового перехода, индуцированного критическим ускорением воздуха (стр. 4 )

  Покажем, что для структурного ПП. Так как , то по теореме Стокса . Тогда из (1) следует, что минимальный вектор Бюргерса . Данный вывод полностью аналогичен выводу выражения для кванта магнитного потока из удлиненной производной потенциала Гинзбурга-Ландау [2]. Квантование потока вихря компенсирующего поля является следствием минимального взаимодействия, например (1). Этот тезис очевиден, так как минимальное взаимодействие приводит к линейной комбинации градиента фазы ПП и компенсирующего поля в наблюдаемых величинах. Циркуляция градиента фазы квантуется и равна , где - целое число. Без градиента фазы, как следует из вычислений, нет квантования циркуляции компенсирующего поля по контуру. Поэтому необходимым и достаточным условием квантования является минимальное взаимодействие.

  С другой стороны, минимальный вектор Бюргерса равен периоду решетки , задаваемому ПП или волновой функцией. Следовательно , так как период подрешетки, описываемой ПП, задает вектор .

  Приведенное выше доказательство эквивалентности трансформационных свойств тензора дисторсии и компенсирующего поля в (2), доказывает, что компенсирующим полем в (1) является тензор дисторсии. Следовательно, тензор дисторсии является независимой переменной, описывающей физическое состояние, как компенсирующее поле ПП, такой же, как, например, электромагнитный потенциал . Поэтому мы можем поставить вопрос об исследовании тензора дисторсии, и не только в твердом теле.

  Вообще говоря, взаимосвязь между магнитным полем и плотностью дислокаций прослеживалась давно. Первый это увидел Кренер [17], он обратил внимание, что описание континуальной теории стационарных дислокаций аналогично описанию магнитостатики. Кренер заметил, что в магнитостатике существует два вихревых соотношения: первое - определение магнитной индукции, и второе - выражение для плотности тока, которое следует из уравнений Максвелла в стационарном случае, здесь - напряженность магнитного поля.

  В теории стационарных дислокаций тоже есть два вихревых соотношения. Первое - определение плотности дислокаций, где - тензор дисторсии, который обобщает пространственную производную смещения и является независимой непрерывной функцией [1]. Такое обобщение было введено для континуального описания дислокаций, потому что вектор смещения в области дислокации не определен. Второе вихревое выражение следует из условия равновесия в стационарной теории дислокаций. Согласно второму закону Ньютона в стационарном случае сила равна нулю. Учитывая, что сила - это дивергенция тензора напряжений, получим . Таким образом, в стационарном случае тензор напряжения можно представить в виде ротора: некоторого тензора , так как дивергенция ротора равна нулю. Этот тензор получил название кренеровского потенциала поля напряжений.

  Имея две пары вихревых соотношений Кренер не смог правильно задать соответствие физических величин, и ошибочно полагал, что плотность дислокаций соответствует плотности тока , а не магнитной индукции , в электродинамике. Заметим, что плотность дислокаций и магнитная индукция – это определения, а величины и находятся из уравнения Максвелла и условия равновесия, то есть, из уравнений состояния.

  Известно, что физические поля делятся на поля материи, например волновая функция плотности распределения заряда, и поля, которые передают взаимодействия, например магнитная индукция . Долгое время считалось, в соответствии с аналогией Кренера, что плотность дислокаций – это поле материи, а не поле, передающее  взаимодействие. Данная дискуссия отражена, например, в обзоре [6], где авторы также придерживались позиции Кренера и Косевича.

  Мы также долгое время полагали, что не может быть плотности дислокаций без параметра порядка (ПП), который описывает состояние материи, хотя все аргументы были против этого утверждения. Например, приведенное выше прямое доказательство эквивалентности компенсирующего поля в (1) тензору дисторсии, или рассмотренная в [3] двумерная модель, которая четко указывает, что линии дислокаций направлены перпендикулярно двумерной решетке и тензор дисторсии является компенсирующим полем (1). Правильная аналогия между плотностью дислокаций и магнитной индукцией становится очевидной в динамическом случае, когда в ход идут законы сохранения импульса и заряда, обусловленные трансляционной симметрией (2) [5].

  Почему вопрос, к какой группе полей отнести поле плотности дислокаций так важен? Во-первых, полей, которые передают взаимодействия в природе всего четыре, во вторых если поле плотности дислокаций передает взаимодействие, то оно должно являться силовой характеристикой или напряженностью поля дисторсии . Однако представить себе, что плотность дислокаций - это напряженность поля взаимодействия, а тензор напряжений - поле материи, было не просто. Скорее всего, здесь сыграла свою роль не очень удачная терминология. Выражение дислокация означало отсутствие локации атомов в решетке, однако плотность дислокаций, которая определена как вихрь компенсирующего тензора дисторсии [1], к локациям атомов не имеет прямого отношения. Как было показано выше, вектор Бюргерса квантуется при минимальном взаимодействии (1) и задает период решетки. Но когда отсутствует минимальное взаимодействие, он описывает линейные дефекты в сплошной среде. В п.3 показано, что пример молнии, как видимого линейного дефекта на небе, приводит к правильной аналогии между критической плотностью дислокаций в воздухе и критической магнитной индукцией в сверхпроводимости.

  Правильное соответствие между электродинамикой и континуальной теорией дислокаций впервые задали Кадич и Эделен [5]. Они пошли дальше Кренера и сформулировали динамическую теорию дислокаций, которую назвали калибровочной теорией дислокаций. Для этого был построен лагранжиан для 4-тензора дисторсии , [7], аналогичный лагранжиану электромагнитного поля:

,  (5) 

откуда получаются уравнения состояния , :

,  (6)

.  (7)

Здесь - импульс, - тензор напряжений, - размерный коэффициент, - скорость звука. и - напряженности 4-тензора дисторсии , :