Описание взрыва как фазового перехода, индуцированного критическим ускорением воздуха (стр. 6 )

  Заметим также, что  калибровочная теория дислокаций Кадича-Эделена не получила широкого развития в связи с тем, что она не содержит калибровочного взаимодействия, хотя и использует в своем названии слово «калибровочная». Действительно, выражение - не является удлиненной производной и не содержит заряда взаимодействия, как например удлиненная производная (1). Таким образом, в [5,7] была построена линейная теория, без взаимодействия.

  Однако известно, что именно заряд задает поле взаимодействия. Т. е., в работе [5] поле взаимодействия было - это тензор дисторсии, а заряда не было. Поэтому невозможно было что-нибудь доказать или обосновать из такой теории. Тем не менее, уравнения аналогичные уравнениям Максвелла, в виде (6,7) впервые были получены Кадичем-Эделеном в [5,7]. Это объясняется тем, что для написания сопряженных величин в (5) не требуется знания минимального взаимодействия (1), а квадратичный инвариант (5), аналогичен свертке электромагнитно тензора, и строится из симметричных соображений.

  В отличие от теории Кадича-Эделена, где постулируется локальная подгруппа трансляций, подгруппа трансляций в [3]  глобальна, а представление – локально . Это обстоятельство позволяет использовать уравнения (6,7) в состоянии, когда нет минимального взаимодействия и нет решетки, например, в сплошной среде. К описанию сплошной среды мы и перейдем. 

2. Уравнения состояния для звука в сплошной среде

  Как известно [8], для описания звука в сплошной среде обычно используют линеаризованные уравнения гидродинамики Эйлера. Если оставить нелинейные члены в уравнениях Эйлера для описания звука, то решения таких уравнений приведут к тому, что частота звука должна будет меняться в зависимости от его интенсивности, чего не наблюдается. Таким образом, ответ был известен. Уравнения, описывающие звук, должны быть линейными.

  На наш взгляд, система линеаризованных уравнений непрерывности и уравнений гидродинамики Эйлера, в качестве уравнений описывающих звук – некорректный выбор. Дело в том, что решение этих уравнений приводит к следующему выражению для давления в звуковой волне: , которое следует из подстановки волнового решения однородного уравнения Даламбера в определение выражения для давления (смотрите стр. 351-354 [8]). Из данного решения следует, что амплитуда давления всегда пропорциональна частоте. Во-первых, это, в общем случае, не верно, так как давление в звуковой волне не зависит от частоты. Во-вторых, при высоких частотах данное решение не является малым, что изначально предполагалось, когда пренебрегали нелинейными членами в уравнении Эйлера.

  Что сдерживало написание уравнений для звука, аналогичных уравнениям Максвелла для электромагнитных волн? Во-первых, известно, что звук это механические колебания сплошной среды, а не поле взаимодействий, аналогичное электромагнитному полю. Во-вторых, не было известно компенсирующее поле, аналогичное электромагнитному потенциалу, которое описывало бы макроскопическое физическое состояние. Покажем, что в сплошной среде компенсирующий тензор дисторсии (1) материализуется, а звук обладает свойствами материальными и полевыми одновременно.

  Как известно, калибровочные условия Лоренца используют для получения волновых уравнений Даламбера из уравнений Максвелла. Для фононного поля, в силу определения (8,9), воспользуемся псевдолоренцевыми калибровочными условиями Кадича-Эделена [5,7] для 4-тензора дисторсии . Тогда уравнения (6,7) будут иметь вид:

.  (12)

.  (13)

  Оператор Даламбера в однородном случае описывает волну. Под однородным случаем, понимаются уравнения (12,13) с левой частью равной нулю. Из уравнений состояния (12,13) следует, что импульс является источником вектора скорости, а тензор напряжений является источником поля дисторсии. Однако в сплошной среде не может быть скорости без импульса. Следовательно, в сплошной среде нет однородных решений системы уравнений состояния (12,13).

  Сплошная среда характеризуется плотностью . Как известно, импульс связан со скоростью в сплошной среде соотношением: . Следовательно, уравнения (12) имеют вид:

.  (14)

  Как известно [1], коэффициент - равен жесткости в изотропном случае . Тензор напряжений пропорционален тензору деформаций с таким коэффициентом согласно закону Гука. Поэтому, можно ожидать, что линейное соотношение Гука сохранится между тензором напряжений и тензором дисторсии в сплошной среде: . Тогда уравнения (13) будут иметь такой же вид, что и уравнения (14):

.  (15)

Если перейти к воздуху, и учесть, что тензор напряжений связан с давлением в воздухе соотношением: , тогда, подставляя вместо дисторсии давление: , где - сжимаемость воздуха, из (15) получим уравнение для звукового давления:

.  (16)

  Таким образом, система двенадцати уравнений состояния (6,7) в сплошной среде превратилась в одно, и тоже линейное неоднородное уравнение Даламбера (14-16). 

  По сути дела, мы задали одно дополнительное условие - это определение плотности в сплошной среде: . Выражение , которое было записано из аналогии с законом Гука - точное, и является следствием трех соотношений: второго закона Ньютона , калибровочного условия  и определения плотности . Действительно, уравнение непрерывности пропорционально калибровочному условию , когда и .

  Что произошло после того как в теории появилась плотность , которая характеризует сплошную среду?

  Во-первых, левая часть в уравнениях Даламбера стала линейной по полю, и мы получили уравнения самосогласованного поля (14-16), в которых поле является источником самого себя. Поэтому звук в сплошной среде удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (14-16) и имеет точные волновые решения, что и требовалось показать.

  Во-вторых, соотношение , которое справедливо при ненулевой плотности  сплошной среды, привело к тому, что уравнения (14-16) стали «массивными». Это означает, что спектр уравнений (14-16) имеет минимальную частоту. Ее называют нулевой частотой, ниже которой не может быть волновых решений уравнений (14-16). Для (14-16) нулевая частота равна . Откуда размерную константу можно выразить через минимальную частоту .

  Таким образом, в воздухе давление действительно удовлетворяет линейному волновому уравнению (16) и описывает звук, но частота звука не может быть ниже некоторой нулевой частоты. Т. е., механические колебания ниже нулевой частоты не приводят к появлению звуковой волны в воздухе. Этот эффект нетривиален, он является аналогом энергетической щели в сверхпроводящем состоянии или массы для состояния массивного бозона. Ниже будет показано, что наличие минимальной частоты в спектре и фазовые переходы типа молнии или взрыва связаны между собой, как две стороны одной медали. Для удобства дальнейших вычислений положим, условно, что .