Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем (стр. 2 )

(1) dq/dt = ch q;  (2) dq/dt  = (q - а) 2;  (3) dq/dt =  sin q;

(4) dq/dt х = соs q -1;  (5) dq/dt = ch q - 1;  (6) dq/dt =  sin 2q;

(7) dq/dt = ех;  (8) dq/dt =  sh2  (q – b).

Упражнение 3. Какие конкретные функции  F  соответствуют  фазовым портретам,  изображенным на рис. рис. 7— 10.

  (1) dq/dt = Ѕ(q2  - 1)  (3) dq/dt = q3

  (2)  dq/dt = q  (4) dq/dt = q2

  Задание № 2

ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА

В различных приложениях дифференциальное уравнение dq/dt = F(q) моделирует изменение какого-нибудь параметра некоторой физической системы в зависимости от времени. Мы говорим, что состояние системы, определяется значением величины q. Например, уравнение

dр/dt = ар;  р, а>0,  (1.16)

моделирует рост популяции р некоторого изолированного вида. В рамках этой модели состояние вида в момент вре­мени t задается количеством индивидуумов р(t), существую­щих в момент t. Другой пример — это закон Ньютона для остывания тел. Температура Т тела, остывающего в среде с температурой ф, подчиняется уравнению

dT/dt = - a(T - ф),  а>0.  (1.17)

Здесь считается, что состояние тела определяется его тем­пературой.

Мы можем изобразить состояние q(t0) нашей модели в любой момент времени t0 точкой на фазовой прямой урав­нения dq/dt = F(q). С увеличением времени состояние системы изменяется, и изображающая это состояние точка движется по фазовой прямой со скоростью dq/dt = F(q). Таким образом, динамика физической системы представляется движением фазовой точки по фазовой прямой.

Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качествен­ную картину динамики. Такая качественная информация мо­жет оказаться полезной при построении моделей. Например,  рассмотрим (1.16) — модель роста изолированной популяции. Заметим, что dр/dt > 0 для всех р > 0, и фазовый портрет на рис. 12 (а) показывает, что популяция растет неограниченно.

Рис. 12  Фазовый портрет для уравнения:  dр/dt = ар. Нас интересует только поведение неотрицатель­ных популяций (р>0).

Это свойство выглядит неправдоподобно: та среда, в которой живет этот вид, имеет свои ограничения и не может обеспе­чить ресурсами неограниченно растущую популяцию.

Предположим, что окружающая среда может обеспечи­вать существование популяции ре. Как надо изменить урав­нение (1.16) с учетом этого обстоятельства? Очевидно, не­ограниченный рост р должен быть чем-то остановлен. Одна из возможностей — ввести аттрактор ре. Это значит, что популяции, большие чем ре, уменьшаются, меньшие чем ре, растут, а равновесие дости­гается при р = ре. Чтобы могли существовать две неподвиж­ные точки при р = 0 и р = ре,  функция F (р) в (1.16) должна быть нелинейной.

Уравнение

  dр/dt = р(а - bр)  (1.18)

хорошо тем, что при b = 0 оно сводится к (1.16); в противном случае оно имеет неподвижную точку ре = а/b. Уравнение (1.18) называется логистическим законом роста популяции. (Слагаемое - bр  в правой части  называется также фактором тесноты.).

Упражнение 4. Какому из фа­зовых портретов на рис. 11  соответствует качественное поведение  следующих автономных дифференциальных уравнений (указать соответствующее значение с)

(1) dq/dt =q,  (5) dq/dt =sh q

(2)  dq/dt = q3,  (6) dq/dt = sh(q – a)

(3) dq/dt = q — а,

  (4)dq/dt = (q— а)3

Упражнение 5.  Нарисовать фазовый портрет для  уравнения dр/dt =

= р (а - bр).

Конечно, часто в моделях физических систем состояние системы определяется более чем одной переменной. Если мы хотим применять качественные идеи к исследованию и таких систем, то мы должны изучить автономные уравнения с бо­лее чем одной переменной.

  Задание  № 3

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим дифференциальное уравнение

  dq/dt  = F(q)  (1.19)

где q =(q1, q2)— вектор в R2. Такое уравнение эквивалентно системе двух связанных уравнений:

  dq1 /dt = F1 (q1, q2),  dq2 /dt  = F2 (q1, q2),  (1.20}

причем F(q) = (F1 (q1, q2), F2 (q1, q2)), так как dq/dt  = (dq1 /dt, dq2 /dt). Решение уравнения (1.19) является парой функций (q1(t), q2(t)), удовлетворяющих системе уравнений (1.20).  Вообще говоря, решение q1 (t), q2(t) содержит две произ­вольные постоянные, так что возникает, двупараметрическое семейство решений. Качественное поведение этого семейства определяется тем, как ведут себя q1(t), и  q2(t) с увеличением времени. Вместо того чтобы просто указывать на фазовой прямой, увеличи­вается или уменьшается величина  q, мы должны показать, как изменяется положение точки q на фазовой плоскости. По­этому фазовый портрет будет двумерным, а качественное по­ведение определяется семейством кривых с указанием на­правления движения по этим кривым при возрастании t. Такие кривые называются траекториями или орбитами.

Качественное исследование уравнений на плоскости  начинается (как и в п. 1.2) с изучения неподвижных точек урав­нения (1.19). Неподвижным точкам соответствуют решения вида q(t) = с=(с1, с2), и они возникают в случае, когда

  F1 (с1, с2) = 0,  F2(c1,с2)= 0.  (1.21)

Соответствующая траектория — это точка (с1, с2)  на фазовой плоскости. В п. 1.2 «характер» этой особой точки определял фазовый портрет.

Рассмотрим некоторые примеры изолированных неподвиж­ных точек на плоскости с целью определения их характера. На рис. 13 - 16  показаны некоторые из возникающих воз­можностей.

Рис. 13 – 16.  Примеры изолированных неподвиж­ных точек на плоскости.

Упражнение 6.  Найти неподвижные точки следующих систем  дифференциальных уравнений на плоскости:

dq1 /dt = q1 (a - b q2),

  dq2 /dt  = -  q2 (c - dq1);  a, b, c, d >0 

dq1 /dt = q2 

  dq2 /dt  = - sin q1

dq1 /dt = q2

  dq2 /dt  = q2 (1- q1 2  )  -  q1

dq1 /dt = q1 (2 -  q1  -  2  q2) 

  dq2 /dt  =  q2 (2 -  2  q1  -  q2) 

(5)  dq1 /dt = sin q1

  dq2 /dt  = cos q2

  Библиографический список (к заданиям 1 – 3)

1. Курс лекций по Общей синергетике

2. . Обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Наука, 1971, 240 с.

Задание  № 4

УСТОЙЧИВОСТЬ. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА)

В  курсе Лекций основным способом исследования поведения нелинейной системы в окрестности одной  из её неподвижных точек было применение теоремы о линеаризации. Указанная теорема дает убедительные результаты только в том случае, когда неподвижная точка простая и не является центром. Но в Лекциях было показано, как можно расклассифицировать все неподвижные точки на асимптотически устойчивые, ней­трально устойчивые и неустойчивые. В этой Лабораторной работе рас­сматривается метод, позволяющий выяснить, когда имеют место эти типы устойчивости.

Предположим, например, что мы хотим исследовать ха­рактер неподвижной точки в начале координат для системы

      (4.1)

Здесь нельзя применять теорему о линеаризации, так как ясно, что линеаризованная система не является простой. Од­нако мы можем показать, что начало координат асимптоти­чески устойчиво, если рассмотреть поведение функции

  на траекториях системы (4.1).

Пусть q(t) произвольная интегральная кривая системы (4.1). Тогда

  (q(t)) =   (4.3)

Поэтому производная (q(t))  отрицательна во всех точках плоскости, кроме начала координат, так что функция убывает при возрастании t. Действительно, из того, что (q(t)) < 0 при q(t) 0, следует, что (q(t)) 0 при, и,  следовательно,

q(t) 0 при . Таким образом, начало координат — асимптотически устойчивая неподвижная точка системы (4.1).

Приведенное выше исследование системы (4.1) является простейшим примером применения функции Ляпунова. Чтобы развить эти идеи далее, нам понадобятся следующие опреде­ления.

Определение 4.1. Действительнозначная функция называется положительно (отрицательно) определенной в V, где V — некоторая окрестность точки ,  если V(q) > 0 (V(q) < 0) для V  и  V (0) = 0.