Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем (стр. 5 )

2 Целью данного задания является исследование динамики однопараметрического «логистического» (или  квадратичного отображения  (1). 

Упражнение 1. Показать, что при  0 < б < 1 квадратичное отображение имеет единствен­ную неподвижную точку х*1, найти её значение и определить является ли она устойчивой. Построить соответствую-щую диаграмму Ламерея.

Упражнение  2. Показать, что при  1 < б ≤ 3 появляется еще одна  неподвижная точка х*2, найти её значение и определить является ли она устойчивой. Является ли она устойчивой при  б = 3 ?. Что происходит с устойчивостью х*1 ?.  Построить соответствующую диаграмму Ламерея. Претерпевает ли отображение бифуркации в данном интервале значений управляющего параметра?

Упражнение  3.  Показать, что в интервале  3 < б ≤ 1 + при б > 3 отображение претерпевает бифуркацию в результате которой неподвижная точка х*2 теряет устойчивость. Найти значение соответствующего бифуркационного параметра. Что появляется вместо х*2 в результате бифуркации? Построить соответствующую диаграмму Ламерея и график  хп =  хп(n). 

Упражнение 4. Исследовать и описать изменения, происходящие в динамике отображения при переходе управляющего параметра через значение  б = 1 + . Покажите, что при этих условиях  происходит бифуркация, в результате которой  появляется притягивающий четырехкратный цикл. Постройте график  хп =  хп(n)  (Период Т=4).

Упражнение 5.  Показать что при следующей (б > 1 + ) бифуркации цикл Т=4 становится неустойчи­вым, и его сменяет устойчивый цикл периода Т=8. Определить соответствующее значение бифуркацион-ного параметра (с помощью соотношения (3)).

Упражнение 6.  Исследуйте отображение  для  б∞ < б ≤ 4 . Рассмотрите  следующие два случая:  параметр б<4  и  б= 4.

Библиографический список

1.Г. Хакен. Синергетика  – М.: Мир, 1985.

  ОБРАЗЕЦ

ОТЧЕТ

о выполнении практического задания

Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем

ЗАДАНИЕ №6

Целью данного задания является исследование динамики однопараметрического логистического (или квадратичного) отображения.

Запишем выражение для однопараметрического логистического отображения:

, где                (1)

Найдем неподвижные точки из условия :

               (2)

Для исследования устойчивости неподвижных точек требуется знать модуль производной:

.                (3)

Если , то неподвижная точка устойчива; если - неустойчива.

Задание 1. Показать, что при квадратичное отображение имеет единственную неподвижную точку x*1, найти ее значение и определить, является ли она устойчивой. Построить соответствующую диаграмму Ламерея.

Из (1) и (2) следует существование единственной неподвижной точки x*=0, и она устойчива, поскольку .

Рис. 1. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=0.9 x0=0.5

Задание 2. Показать что при появляется еще одна неподвижная точка x*2, найти ее значение и определить, является ли она устойчивой. Является ли она устойчивой при α=3? Что происходит с устойчивостью x*1? Построить соответствующую диаграмму Ламерея. Претерпевает ли отображение бифуркации в данном интервале значений управляющего параметра?

Из (1) и (2) следует существование двух неподвижных точек x*1 = 0 и . Точка x*1 неустойчива, поскольку . Точка x*2 устойчива, поскольку . Появление новой неподвижной точки есть изменение структуры фазового пространства, следовательно, при значении параметра α=1 отображение претерпевает бифуркацию.

При α=3 точка x*2 является устойчивой. Ниже будет показано, что в данном случае точка x*2 представляет собой вырожденный 2-цикл с одинаковыми элементами, равными особой точке, к которой сходятся траектории. Следовательно, при значении параметра α=3 отображение также претерпевает бифуркацию.

Рис. 2. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=0.9 x0=0.5 и x0=0.01

Задание 3. Показать, что в интервале при α>3 отображение претерпевает бифуркацию, в результате которой неподвижная точка x*2 теряет устойчивость. Найти значение соответствующего бифуркационного параметра. Что появляется вместо x*2 в результате бифуркации? Построить соответствующую диаграмму Ламерея и график xn=xn(n).

При α>3 выражение , следовательно, неподвижная точка x*2 является неустойчивой. Рождается 2-цикл, элементы которого можно найти из системы:

Вычтем второе уравнение из первого:

Теперь сложим первое уравнение со вторым:

Тогда

Теперь используя теорему Виета, можем записать уравнение для поиска элементов 2-цикла:

Решая это квадратное уравнение, получаем:

Из этой формулы видно, что 2-цикл рождается при α=3, а при α<3 его существование невозможно, поскольку под корнем стоит отрицательное число.

Рис. 3. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=3.25 x0=0.495

Рис. 4. График зависимости xn=xn(n)

Задание 4. Исследовать и описать изменения, происходящие в динамике отображения при переходе управляющего параметра через значение . Покажите, что при этих условиях происходит бифуркация, в результате которой появляется притягивающий четырехкратный цикл. Постройте график xn=xn(n) (Период T=4).

Аналитически можно показать, что существует значение параметра, при котором станет неустойчивым и 2-цикл. Действительно, для элемента 2-цикла можно написать соотношение

.

Таким образом, элемент 2-цикла есть неподвижная точка двукратно проитерированного отображения. Этот факт позволяет легко определить устойчивость цикла, поскольку тогда можно применить полученный ранее способ анализа устойчивости неподвижной точки. При этом надо использовать правило дифференцирования сложной функции:

Определим границы устойчивости 2-цикла:

       

, т. к. α>0.

2-цикл становится неустойчивым, когда.

При этом точки x1 и x2 расщепятся на две, и у нового движения будет четыре элемента, т. е. реализуется 4-цикл.

Рис. 5. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=3.5 x0=0.5

Рис. 6. График зависимости xn=xn(n)

Что будет при дальнейшем увеличении параметра можно установить уже только при помощи компьютерного моделирования.

Задание 5. Показать, что при следующей () бифуркации цикл T=4 становится неустойчивым, и его сменяет устойчивый цикл периода T=8. Определить соответствующее значение бифуркационного параметра.

Воспользуемся соотношением , где δ=4,6692016609… и найдем . Около этого значения должна произойти бифуркация и появится 8-цикл.

Рис. 7. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=3.555 x0=0.499

Задание 6. Исследуйте отображение для . Рассмотрите следующие два случая: параметр α<4 и α=4.

С ростом параметра возникают сложные циклы периодов 6,4,3 и так далее, чередующиеся с областями непериодического поведения. Например, при α=3,831 существует 3-цикл.

Рис. 8. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=3.831 x0=0.5

При α=4 динамическая система обладает свойством эргодичности и перемешивания с экспоненциальной расходимостью близких траекторий.

Рис. 9. Диаграмма Ламерея для логистического отображения при α=4 x0=0.1 и 10000 итерациях. Траектории заполняют всю область.

Задание выполнил:

Студент группы  Ф. И.О

  Дата  представления отчета.