Пример 5.1. Найти различные качественные типы фазовых портретов для однопараметрической системы
; (5.2)
при изменении 
от —
до +
.
Решение. Систему (5.2) можно упростить, введя полярные координаты r, 
. Получим
=1. (5.3)
При
< 0, 
= 0 при r = 0; в противном случае 
< 0. Таким образом, все фазовые портреты — это закручивающиеся вокруг начала координат спирали. При 
= 0, 
так что портрет качественно такой же. Спирали закручиваются вокруг начала с малой скоростью (в линеаризованной системе при 
= 0 мы имеем центр). Но при 
> 0 начало координат уже неустойчиво, так как 
> 0 при
0 < r <
. Функции r(t) 
, 
(t) = t дают решение системы (5.3), так что окружность r =
является замкнутой орбитой.
При r >
, 
< 0; следовательно, эта замкнутая орбита — устойчивый предельный цикл, и траектории закручиваются вокруг него с обеих сторон. Различные качественные типы фазовых портретов показаны на рис. 5.2. Мы заключаем, что система (5.2) претерпевает бифуркацию при 
= 0.
Рис. 5.2 Фазовые портреты системы с параметром (5.2): а) 
< 0; (b) 
= 0 0; (с) 
> 0 .
Заметим, что собственные значения линеаризации системы (5.2) в начале координат равны 
±i и становятся чисто мнимыми при критическом значении 
= 0. При 
>0 система (5.2) имеет предельный цикл, который возникает из неподвижной точки и постепенно увеличивается в размерах при возрастании 
. Это пример так называемой бифуркации Хопфа.
Упражнение 5.1. Найти различные качественные типы фазовых портретов и определить точки бифуркации для однопараметрических систем (5.1, b) и (5.1,c).
Указание: сведите уравнения к системам первого порядка.
Упражнение 5.2. Рассмотреть различные типы фазовых портретов, которые получаются когда параметр 
изменяется от —
до +
, для следующих систем:
1. 
=1.
2. 
=1.
3. 
=1.
4. 
=
.
5. 
=1.
Библиографический список
1. Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Качественная теория с приложениями). – М.: Мир, 1986.
Задание № 6. Дискретные отображения
1 Свойства дискретных отображений
Точечные отображения — это самостоятельный раздел теории динамических систем, где изучаются объекты не с непрерывным, а с дискретным временем.
Использование точечного отображения вместо дифференциальных уравнений при исследовании динамики конкретных систем оказывается весьма полезным как в силу их наглядности, так и в вычислительном отношении, поскольку при переходе к отображению размерность изучаемой системы уменьшается на единицу. При этом оказывается, что свойства рассматриваемой динамической системы во многом определяются свойствами порождаемого ею отображения. Например, периодическим решениям дифференциальных уравнений (или, что то же самое, предельным циклам) ставятся в соответствие неподвижные точки отображения.
Динамика одномерного отображения может быть наглядно представлена графически с помощью геометрического построения, называемого, диаграммой Ламерея. Используя диаграмму Ламерея, легко найти неподвижные точки отображения. Условие устойчивости неподвижных точек х* одномерного отображения хп+1 = f(хп) сводится к выполнению неравенства | f'(х*)| <1. Если | f'(х*)| > 1, неподвижная точка х* неустойчива.
Кроме неподвижных точек одномерные отображения могут иметь циклы. Циклом порядка т (или т-кратным циклом) точечного отображения называется последовательность точек x1, х2, х3, . . . , удовлетворяющих условиям х2= f(х1), х3 = f(х2),……, х1= f(хm), причем никакие два элемента в наборе xt, хг, . . . ,хт не совпадают. Заметим также, что точки цикла х,,х2,……, хт называются иногда т-кратными неподвижным точками.
В Лекциях, в качестве примера, рассматривалась динамика однопараметрического «логистического» (или квадратичного отображения:
хп+1 = бхп(1- хп). (1)
Коэффициент б в (1) служит управляющим параметром. Если б пробегает интервал от 0 до 4, то любое значение 0 < хп < 1 отображается в некоторую точку 0 < хп+1 < 1 того же интервала. Задав начальное значение х0, нетрудно вычислить последовательность х1, х2 . . . по формуле (1). Динамика такого отображения может быть очень сложной. Так при 3 < б < б 1 последовательность {хn} сходится к периодическим перескокам с периодом Т = 2. При б 1< б < б 2 (и достаточно больших хп и tn) {хn} возвращается к своим значениям при п + 4, п + 8, т. е. с периодом T = 4, T = 8, ... Последовательность удвоений периода, имеет в б = б∞ = 3,569945672 . . . точку накопления. Последовательность бп, при которой происходит удвоение периода, удовлетворяет простому закону
, где 
= 4,6692016609. . . . (2)
Если в экспериментах наблюдаются субгармонические бифуркации в точках б 1, б 2, то согласно сценарию, следующая бифуркация должна иметь место вблизи б 3= б 2_-(б 1 - б 2)/д (3)
При б∞ < б ≤ 4 отображение имеет циклы с любым периодом, в том числе и апериодические траектории. Такие траектории при последовательных итерациях будут нерегулярным, хаотическим образом блуждать внутри единичного квадрата. Более того, как показано различными исследованиями, при б=4 динамическая система, задаваемая квадратичным отображением (1), обладает свойством эргодичности и перемешивания с экспоненциальной расходимостью близких траекторий.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
