Определение 4.2. Действительнозначная функция назы­вается положительно (отрицательно) полуопределенной в V, где V — некоторая окрестность точки ,  если V(q) 0 (V(q) 0) для V  и  V (0) = 0 (Употребляется также термин «неотрицательно (неположительно) определенная функция».)

Определение 4.3. Производная функции вдоль параметрически заданной кривой q(t)  определяется как

  (q(t)) =   (4.4) 

Функция рассмотренная во вводном примере, положительно определена в R2. Поведение этой функции типично для положительно определенных функций, применяемых в этом параграфе. Любая положительно опре­деленная непрерывно дифференцируемая функция имеет кон­тинуум замкнутых линий уровня, окружающих начало коор­динат. Конечно, эти кривые не обязаны быть окружностями (см. рис.4.1).

 

   

Рис. 4.1. Линии уровня функции = С для положительно опре­деленной функции для С = 0,5; 1,0; 1,5..

При этом если производная  (q(t))  отрицательна

на некоторой траектории, то эта траектория должна все время двигаться к началу координат, так как функция L вдоль траектории убывает. Заметим, что для любой системы 

  (q(t)) =    (4.5) 

зависит только от и  и поэтому часто обозначается про­сто (q)  .

Теорема 4.1. (Теорема Ляпунова об устойчивости).

Пусть система имеет неподвижную точку в начале координат. Если в некоторой окрестности V начала координат существует действительнозначная функция L такая, что

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(а) частные производные , существуют  и непрерывны;

(b) L  положительно определенная;

(с)  отрицательно полуопределенная,

то начало координат является устойчивой неподвижной точ­кой системы.

  Если вместо (с) предполагается, что

(с')  отрицательно определенная,

то начало координат — асимптотически устойчивая неподвиж­ная точка.

Определение 4.4. Функция L, удовлетворяющая предположениям  (а),  (b),  (с)  теоремы 4.1, называется  слабой  функцией Ляпунова. Если (с) заменено на  (с'), то L  называется сильной функцией Ляпунова.

Упражнение 4.1

Показать, что функция является сильной функцией Ляпунова  в начале координат для каждой из следующих  систем:

1.    ;

2.    ;

3.      ;

4.    ;

5.   

6. Исследовать  устойчивость уравнения второго порядка

 

в окрестности начала координат на фазовой плоскости с помощью функции 

Указание: свести уравнение к системе первого порядка.

7. Показать с помощью функции  , что начало координат — неустойчивая неподвижная точка для системы

   

Проверить неустойчивость начала,  исследуя поведение сепаратрис.

Указание: подберите соответствующим образом постоянные α и β.

  Задание № 5

  БИФУРКАЦИИ В СИСТЕМАХ

5.1. Несколько простых примеров

  В динамические уравнения часто входят кроме динамиче­ских переменных также параметры или «константы». Напри­мер,

(а)  скорость размножения на особь популяции α в урав­нении, описывающем рост популяции,

    (5.1)

(b) естественная или собственная частота и постоян­ная демпфирования  k  в уравнении гармонического осцилля­тора

    ;

(c) величина в уравнении Ван-дер-Поля

    ; 

это всё параметры.

Мы имеем дело с бифуркацией дифференциального урав­нения, если качественное поведение его фазового портрета меняется при изменении параметра (или параметров). На­пример, для уравнения (5.1, а ) точка q = 0 - аттрактор при < 0 и репеллер при > 0. Когда возрастает, проходя через нулевое значение, то решения из убывающих превра­щаются в возрастающие функции от t.

Рис. 5.1. Фазовые портреты для системы с параметром:

  ;  а)  < 0;  b) = 0;  c)  > 0 .

Говорят, что это диф­ференциальное уравнение имеет точку бифуркации при = 0. Аналогично система 

    ,

испытывает бифуркацию при = 0. Здесь возни­кают качественно различные фазовые портреты при < 0, = 0 и > 0, как это показано на рис. 5.1. Для любого  < 0 фазовый портрет является устойчивым узлом; для = 0 — это фазовый портрет непростой неподвижной точки ; для любого > 0 фазовый портрет — седло.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5