Задачи на экстремум в школьном курсе математики (стр. 2 )

  Х(3х-2)=0

  Х=0  3Х-2=0

       Х=

  Применяя достаточное условие существования экстремума, получим:

Значит  х=.  В этой точке функция  достигает своего наименьшего значения.

ОТВЕТ: 

б)  Пусть искомое число  - Х.  Границы изменения:  Х(-;0).

  Составим функцию:  f(x)=(- +(-,  f′(х)=- 3х,  f′(х)=0, 

  -3х=0.

  Х(-3х-2)=0

  Х=0  -3Х-2=0

       Х=-

  Х=0  в границы изменения не входит, значит не является экстремальной  точкой.  Проверим  Х=- .  Применяя достаточное условие существования экстремума, получим:

При переходе через эту точку производная меняет знак  с  «+»  на  «-».  Значит, в этой точке функция достигает максимума.  А по условию требовалось  найти  такое отрицательное число,  разность между кубом и квадратом которого была бы наименьшей из всех возможных.  Значит, такого числа нет.

ОТВЕТ:  такого числа нет.

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА  1

       Найти острый угол, для которого сумма его синуса и косинуса

       является наибольшей из возможных.

       РЕШЕНИЕ:

Пусть  - искомый угол (0<<).  Составим  функцию  f( sin+ cos.

f′()=cos-sin,  f′()=0,  cos-sin=0.  Разделим обе части уравнения на cos,  получаем:

       1-tg=0

       tg=1

       =  Применяя достаточное условие существования экстремума, получим: 

       

Значит,  .  В этой точке функция достигает  своего наибольшего значения.

ОТВЕТ:  .

ЗАДАЧА  2

       Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если

       сумма его катета и гипотенузы постоянна.

        РЕШЕНИЕ:

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника-х,

тогда  х + с =r,  c = r - x  (1).  По теореме Пифагора

  (2).

Подставляя  (1) в (2),  получаем ,

откуда  ,  ,

  (3).  Площадь треугольника равна:

  (4).  Подставляя в  формулу (4) выражение (3), получаем искомую функцию:

.

,  ,  ,  .  Мы получили точку

х=,  в  окрестности  которой производная меняет знак с  «+» на «-».  Значит,   есть точка, в которой S достигает своего наибольшего значения.

Найдем значение второго катета:

.  C= r-  .

ОТВЕТ:  х=,  y= ,  c=.

ЗАДАЧА  3

  В полукруг радиуса R вписать прямоугольный треугольник

       наибольшей площади.

       РЕШЕНИЕ:

Обозначим длины  искомого треугольника  через  х  и  у. Площадь треугольника в данном случае равна:

  (1)

По теореме Пифагора имеем, что

.  Из этой формулы получаем    (2).

Подставив  (2)  в  (1),  получим:  , где x