Задачи на экстремум в школьном курсе математики (стр. 4 )

,          . 

При переходе  через    производная меняет знак  с  «+» на «-».  Значит,

  - точка в которой функция достигает своего наибольшего значения.

ОТВЕТ:    . 

  ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА  1

       Фермер хочет расчистить поле в виде прямоугольного участка с

       присоединенным  к одной  из его сторон полукруглым участком.

  Прямоугольный участок будет отведен под сено, дающее доход в

       5  центов на ,  а полукруглый  будет засеян рисом,  дающим доход

  в 6 центов на    Периметр поля должен быть равен  800 м.

  Как должен  фермер спланировать поле, чтобы получить

       наибольший доход.

       РЕШЕНИЕ:

       

Схематически показано поле.

 

800= 2x + 2y +  ,  x=400 – y -    (1) .  Площади  I  и  II  участков, с учетом формулы (1)  равны: 

  Доход равен  Д=SR,  где  R-доход полученный с 1

Значит 

 

  Общий доход:  Д= .

Д(y)=2000y-5

2000y-10y-

При переходе  через точку    производная меняет знак с  «+» на «-». 

Значит, в этой точке функция достигает наибольшего значения.

Теперь найдем еще один размер поля: 

ОТВЕТ:  Размеры поля :          и 

ЗАДАЧА  2

       Предположим, что цена риса  в задаче  1  выросла так, что участок,

       засеянный рисом, дает доход в 10 центов на 1  Какова теперь 

       будет форма поля?

       РЕШЕНИЕ:

  В этом случае мы получаем:

Д(y)=2000y-5

Применяя  достаточный признак существования экстремума, получаем:

       

Значит,  , в этой точке функция достигает наибольшего значения.

Получаем,  что  Х  = 400-200  -

ОТВЕТ:  Размеры поля :    и 

ЗАДАЧА  3

       Стоимость бриллианта  пропорциональна квадрату его массы. При

  обработке  бриллиант был расколот на две части. Каковы размеры

  частей,  если известно, что при  этом произошла  максимальная

        потеря  стоимости?

       РЕШЕНИЕ:

Бриллиант был расколот на две части массами  и  . Значит, масса

всего бриллианта  M  =  (1).  Стоимость каждой из частей будет равна :  Из  (1)  получаем:

M  -(2).  Учитывая  (2) получим,  что 

Значит, стоимость  всего бриллианта равна: 

, 

= 

4

2

.  При переходе через точку    производная меняет знак с  «+» на «-».  Значит,  - точка, в которой функция  достигает наибольшего

значения.

ОТВЕТ:  Максимальная потеря стоимости бриллианта произойдет, если

  При обработке он будет расколот пополам.