Задачи на экстремум в школьном курсе математики (стр. 1 )

  Задачи на экстремум  в школьном

  курсе математики

        УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

       

        г. КОРОЛЕВ

  Введение

  Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как  часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи.

  Как, располагая  определёнными  ресурсами, добиться наиболее высокого  жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени - так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач анализа поддается исследованию с помощью метода математического анализа–это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. 

  Школьная программа по математике предусматривает в теме «Производная и её применение» ознакомление  учащихся с методом нахождения экстремальных значений функции. Данный метод имеет важнейшее, ключевое значение для решения целого класса задач из разных разделов курса физики, геометрии, экономики, алгебры и т. п. 

  Специфика задач данного класса включает получение на основе некоторых закономерностей функциональной зависимости, т. е. построение функции и нахождение её экстремальных значений. 

  Решение задач такого типа не только, способствует формированию навыков практического применения математики, но, при некоторых условиях, оказывает заметное воспитательное воздействие на учащихся, повышает их интерес к изучению  самого предмета.

  Важную роль с точки зрения воспитательного воздействия  играет получаемая учащимися  информация  по поводу личных выгод, извлекаемых из решения задач. Задача, адресованная школьнику при обучении математике, является эффективной производственной  задачей, если выполнены следующие требования:

а) результаты решения задачи фактически  используются на практике;

б) постановка задачи, её математическое моделирование и решение вполне доступны пониманию учащихся;

  Результаты знакомства учащихся с эффективной производственной  задачей во многом зависит от того, насколько их увлекла сама постановка задачи, насколько убедительно и впечатляющей показалась им информация учителя о её практической значимости.

Приведенные ниже задачи классифицированы по тематике:

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задачи на экстремум удобно решать по следующему алгоритму:

Выявляют величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти и обозначают её буквой  У (или S, p,r, R  и т. д. в зависимости от задачи) Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. д.) объявляют независимой переменной и обозначают буквой  X; устанавливают границы изменения X в соответствии с условиями задачи. Исходя из конкретных условий данной задачи, выражают  У через X и известные величины. Для полученной на предыдущем этапе функции  y=f(x) находят наибольшее и наименьшее значение  (в зависимости от требования задачи) по промежутку изменения Х. Интерпретируют результат, полученный в пункте 4 для данной конкретной задачи.

  ЗАМЕЧАНИЕ:

На первых этапах составляется  математическая модель задачи. Здесь успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Важно, чтобы было сравнительно нетрудно выразить У через X.

  АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА  1

       Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов 

        была наименьшей.

        РЕШЕНИЕ:

Пусть первое слагаемое  - Х,  тогда второе слагаемое -  (8- Х).

Получаем функцию  f(x)=.

По смыслу задачи  х(0;8)

f′(х)=3х=3(х

f′(х)=0,  48(х-4)=0

       х-4=0

       х=4  - первое слагаемое,  8-4=4  - второе слагаемое

ОТВЕТ:  1-е слагаемое  4,  2-е слагаемое  4.

ЗАДАЧА  2

       Число 180 представить в виде суммы трех положительных 

       слагаемых так, чтобы два из них относились, как 1:2,

       а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

        РЕШЕНИЕ:

Пусть первое число -  Х,  тогда второе число  -2Х,  а третье число  - (180-3Х).

Границы изменения Х в соответствии  с условиями задачи  будут:  0<X<180.

Составим функцию:  f(x)=,  f(x)→max.

f′(х)=720х-18х,  f′(х)=0,  720х-18х=0, 

  40х-х=0 

       Х(40-х)=0

х=0 не удовл. услов.        40-х=0

       х=40

Применяя достаточное условие существования экстремума,  получим 

       

Значит,  х=40 точка максимума. Таким  образом в этой точке функция достигнет своего наибольшего значения.

Из условий получаем,  что  2-е число равно 80, а  3-е число равно  60.

ОТВЕТ:  1-е число  40,  2-е число  80,  3-е число  60. 

ЗАДАЧА  3

       Сумма двух чисел равна 100,  а сумма их квадратов наименьшая  из

       Возможных. Найти эти числа.

       РЕШЕНИЕ:

Пусть первое число -  Х,  тогда второе число  -  (100-х),  х(0;100).

Получаем функцию  f(x)= х+(100-х)min.

f′(х)=2х+2(100-х)(-1)=2х-200+2х=4х-200,  f′(х)=0, 

  4х-200=0

  Х=50

Применяя достаточное  условие  существования экстремума, получаем :

Значит  х=50.  В этой точке функция достигает своего наименьшего значения.  Из условия получаем,  что 2-е число  равно  50.

ОТВЕТ:  1-е число  50,  2-е число  50.

ЗАДАЧА  4

       Разность между некоторым числом и его натуральным логарифмом

       наименьшая из  возможных. Найти это число.

       РЕШЕНИЕ:

Пусть  Х - искомое число.  Составим функцию:  f(x)=х-ℓnx.

Границы изменения  Х:(0,+).

f′(х)=1-,  f′(х)=0, 

1-=0,    ,  .  Применяя достаточное условие существования экстремума, получаем:        

       

Значит  х=1.  В этой точке  функция достигает своего наименьшего значения.

ОТВЕТ:  число равно  1.

ЗАДАЧА  5

       Разность между кубом и квадратом одного и того же числа является

       наименьшей  из всех возможных. Найти это число в предположении,

       что оно:  а)положительное;

       б) отрицательное.

       РЕШЕНИЕ:

а)  Пусть искомое число  - Х.  Границы изменения:  Х(0,+).

  Составим функцию:  f(x)= - х.  f′(х)= 3х,  f′(х)=0, 

  3х=0.