Итак, заданная функция возрастает на промежутках 
и убывает на отрезке 
.
Пример 3. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой 
. Найти ее скорость в момент времени 
.
Решение: Воспользуемся определением мгновенной скорости 
.
В нашем случае 
.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача №1. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 1.
Задача №2. Найти промежутки возрастания и убывания функции 
.
Задача №3. Точка движется по прямой, причем пройденный путь определяется формулой 
. Найти ее скорость в момент времени 
.
Самостоятельная работа №4 «Исследование функций на экстремум»
Правило нахождения экстремумов функции
с помощью первой производной
Найти производную
. Найти критические точки функции 
, т. е. точки в которых 
обращается в нуль или терпит разрыв. Исследовать знак производной 
в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции 
. При этом критическая точка 
есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором 
, от промежутка, в котором 
, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой 
, знак производной не меняется, то в точке 
функция экстремума не имеет. Вычислить значения функции в точках экстремума. Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 
Находим 
, приравняем производную к нулю, имеем 
. Получим единственную критическую точку 
.
Последующие рассуждения представим в таблице:
|
| 2 |
|
| - | 0 | + |
|
| Минимум
|
|
График функции 
есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.
Задача для самостоятельного решения.
Задача №1. Исследовать на экстремум функцию 
Задача №2. Исследовать на экстремум функцию 
Раздел 3. Интеграл и его приложения
Самостоятельная работа №5 «Первообразная. Неопределенный интеграл»
Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Решение:
, т. е. 
⇒ 
Пример 2. Найти все первообразные функции 
:
а) f(x) =х4+ 3х2+ 5
б) f(x) = sin(3x– 2)
Решение:
Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:
Пример 3. . Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
