Алгоритмы управления АСУТП (стр. 4 )

В (m+1)-й строке таблицы 4.1а в столбце b записывают значение Fц0, рассчитанное по формуле (4.6), а в каждом столбце aj (j=1, 2,…n) записывают значение Дj, рассчитанное по формуле (4.13). Если  Дj<0 для некоторых индексов j и для каждого такого j по крайней мере одно из чисел aij положительно, то можно составить новый опорный план, при котором значение целевой функции увеличится. Чтобы перейти к улучшенному опорному плану, нужно ввести в базис вектор ak, у которого Дk<0, и это Дk является наибольшим (по абсолютной величине) отрицательным числом среди всех Дj. Взамен из базиса исключается вектор ar. Номер r соответствует элементу ark вектора ak, а элемент ark находят по минимуму выражения bi/aik для всех aik>0. Если же все aik≤0 (i=1,2,…m), то целевая функция не ограничена сверху. Число ark называется разрешающим элементом. Столбец ak и строку r, на пересечении которых находится разрешающий элемент, называют направляющими (или разрешающими). Улучшенный опорный план находят методом Жордана-Гаусса. При этом положительные компоненты нового опорного плана находят по формулам:

bi (brk/ark)∙aik  при i ≠ r,

  b′i =  (4.14)

brk/ark  при i = r,

а коэффициенты разложения векторов aj через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану, - по формулам:

aij  (arj/ark)∙aik  при i ≠ r,

       a′ij =  (4.15)

  arj/ark  при i = r.

После этого вместо таблицы 4.1а получится таблица 4.1б. Элементы (m+1)-й строки таблицы 4.1б  находят по формулам:

F′цо=Fцо - (brk/ark)Дk,  (4.16)

Д′j=Дj - (arj/ark)Дk,  (4.17)

либо на основании их определения, см. формулы (4.6) и (4.13). Затем просматривают элементы  (m+1)-й строки. Если все Д′j≥0, то новый опорный план оптимален. Если же имеются Д′j<0, то поиск оптимального плана продолжается. Заметим, что формулы (4.14)–(4.17) можно интерпретировать для визуального поиска элементов расчёта методом треугольника, когда все расчёты (кроме случая i=r) ведутся по формуле

b = a1 – a2∕1 a3,

где a1  –это либо bi, либо aij ;

  a2/1 – либо brk/ark, либо arj/ark ;

  a3  – либо aik, либо Дk.

Пример 4.1. Оптимизация прокатки путем линейного программирования симплексным методом.

Определить месячную программу прокатки стали двух марок на сортовом стане, обеспечивающую максимальную прибыль.

Дано:

затраты времени по каждому сортаменту:

t1 = 0,04 ч/т;  t2 = 0,08 ч/т;

расход энергии при прокатке:

w1 = 8 кВт∙ч/т;  w2 = 3 кВт∙ч/т;

месячный фонд технологического времени tм ≤ 600ч;

месячный лимит электроэнергии на текущий месяц Wм ≤ 100000 кВт∙ч.

Найти: такой вариант месячной программы прокатки, который обеспечит в текущем месяце, когда имеются ограничения по электроэнергии, максимум прибыли при условии, что прибыльность второго сортамента в 1,2 раза выше прибыльности первого сортамента стали:

Fц = x1 + 1,2x2.

В выражении целевой функции Fц прибыльность выражена в относительных единицах (о. е.). За единицу прибыли принята прибыль от 1 т проката первого сортамента.

Выпуск проката ограничивается неравенствами:

0,04x1 + 0.08x2 ≤ 600

8x1 + 3x2 ≤ 100000.

Вводим: х3 –неиспользованное технологическое время;

  х4 –неиспользованная в пределах лимита электроэнергия;

Получим систему уравнений ограничений задачи, выраженную в канонической форме:

0,04х1+0,08х2+х3 = 600;

8х1+3х2+х4 = 100000.

Расчёты производим в соответствии с алгоритмом, представленным в таблицах 4.1а и 4.1б. Результаты расчётов сводим в таблицу 4.2.

       Таблица 4.2

i	Базис	сб	b	1	1,2	0	0
а1	а2	а3	a4
1	а3	0	600	0,04	0,08	1	0
2	а4	0	105	8	3	0	1
Прибыль	0	-1	-1,2	0	0

1	а2	1,2	7500	0,5	1	12,5	0
2	а4	0	77500	6,5	0	-37,5	1
Прибыль	9000	-0,4	0	15	0

1	а2	1,2	~1500	0	1	15,5	-0,08
2	а1	1	~12000	1	0	-6	0,16
Прибыль	13800	0	0	12,6	0,052

Возможный максимум прибыли составляет 13800о. е. при выпуске проката марок: х1=12000т; х2=1500т.

4.4. Градиентные методы автоматической оптимизации

4.4.1. Поиск экстремума целевой функции

Если целевая функция нелинейна, то поиск оптимального режима работы ТО производится, чаще всего, градиентными методами, применение которых позволяет решить практически любую задачу нелинейной оптимизации. Сущность градиентных методов заключается в том, что на каждом шаге оптимизации при поиске максимума или минимума целевой функции приращения управляющих параметров выбираются пропорциональными частным производным целевой функции по этим параметрам.

Это правило можно отобразить с помощью следующего рекуррентного соотношения:

  ,  (4.18)

где – значение i-го параметра на (j+1)-м шаге оптимизации;

– значение того же параметра на j-том шаге оптимизации;

  – коэффициент, определяющий величину шага оптимизационной процедуры, называемый также шагом;

    – частная производная целевой функции Fц по i-му параметру xi, которая вычисляется на каждом шаге оптимизации;

  n  – количество управляющих параметров оптимизируемого процесса.

Частные производные являются проекциями градиента функции Fц  в (n+1)-мерном пространстве, которое составляют параметры  xi и функция Fц. Примем во внимание, что градиент – это вектор, указывающий направление на максимум функции. По этой причине знак плюс в формуле (4.18) ставится, если оптимальный режим соответствует максимуму целевой функции, а знак минус, если оптимальный режим соответствует минимуму целевой функции.

В пределах шага оптимизационной процедуры, когда оптимизируемые параметры получают приращения

,        (4.18′)

расчётные значения частных производных не изменяются. После выполнения шага оптимизации значение , согласно соотношению (4.18), увеличивается или уменьшается до значения , а это означает, что при изменении параметров техпроцесса в пределах ч , i = 1, 2,…n, значения частных производных функции  Fц по этим параметрам принимались неизменными. Следовательно, на каждом шаге оптимизации, в пределах шага, целевая функция принимается линейной, хотя в действительности она нелинейна. Если шаг чрезмерно велик (значение чрезмерно велико), то в пределах шага фактические значения частных производных функции Fц могут уменьшиться до нуля и даже изменить свой знак, а последнее будет означать, что система управления «проскочила» точку оптимального режима, точку, в которой все частные производные целевой функции равны нулю, т. е.

  = 0,  i = 1, 2,…n.  (4.19)

На следующем шаге при чрезмерно большом система управления может опять пройти точку оптимального режима, но уже в обратном направлении. Начнется так называемое рысканье, из-за которого оптимальный режим не будет достигнут. Если значение достаточно мало, то рысканья не будет, но при чрезмерно малом продвижение к оптимальному режиму будет замедленным, из-за чего оптимальный режим также не будет достигнут: во-первых, поиск оптимального режима может затянуться на всё время реализации техпроцесса (даже при неизменности его параметров); во-вторых, за время поиска параметры техпроцесса могут изменяться так быстро, что система управления не будет успевать найти управляющие параметры, соответствующие оптимальному режиму. Дело в том, что при динамической оптимизации, производимой в течение работы ТО, значения частных производных целевой функции должны быть определены экспериментально, методом конечных разностей. Если контролируются  n  параметров, то на каждом шаге оптимизации, одновременно с выполнением технологической задачи, необходимо произвести поочередно малое приращение каждого из параметров (i = 1, 2,…n). Эти приращения должны быть достаточно малы, с тем чтобы не нарушать достигнутый уровень оптимизации режима работы, а с другой стороны – достаточно велики, чтобы их можно было измерить с заданной точностью с помощью существующей приборной базы. Кроме того, данные приращения должны оставаться неизменными в течение серии шагов оптимизации, чтобы уменьшить объём производимых при поиске оптимального режима вычислений.