Алгоритмы управления АСУТП (стр. 5 )

Допустим, что установлены оптимизированные значения управляющих параметров (i = 1, 2,…n) на j-том шаге оптимизации. Им соответствует исходное на текущем шаге оптимизации значение целевой функции Fц0. Далее следует последовательно, одно за другим, выставить значения управляющих параметров +Д, где Д– запланированное пробное приращение i-того параметра, и вычислить n новых значений целевой функции Fцi (i=1, 2,…n), соответствующих текущему шагу оптимизации. После этого можно будет вычислить все необходимые для реализации очередного шага оптимизации значения n частных производных целевой функции:

= ,  i=1, 2,…n.  (4.20)

Новые оптимизированные значения xij +1 на (j+1)-м шаге оптимизации рассчитываются по формуле (4.18), после чего рассчитывается новое значение Fц0.

Рассмотренная процедура измерений и расчетов может оказаться достаточно длительной при управлении реальным быстротекущим технологическим процессом, и тогда она, как показано выше,  не гарантирует оптимальности режима работы из-за возможного рысканья или недостаточности быстродействия. Если же система управления достаточно быстродействующая, то итерационный процесс поиска оптимального режима должен продолжаться до тех пор, пока не получится

|Fцi – Fцo| < е,  i=1, 2,…n,  (4.21)

где е– малое положительное число, выбранное так, чтобы неравенство (4.21) обеспечивало достаточную близость к оптимальному режиму, т. е. к выполнению условий (4.19).

При поиске оптимального режима в точке экстремума целевой функции необходимо следить за тем, чтобы этот экстремум был глобальным, а не локальным, т. е. чтобы он соответствовал точке наибольшего значения целевой функции из всех значений, которых она достигает в точках локальных экстремумов. Эта  проблема решается на этапе выбора начальной точки задания рабочего режима, которая должна находиться в такой окрестности глобального оптимума, что дальнейший поиск оптимального режима методом градиента автоматически приводил бы именно к глобальному оптимуму.  Выбор такой начальной точки, т. е. совокупности управляющих параметров, задающих исходный рабочий режим, предшествующий автоматическому поиску оптимального режима, зависит в значительной степени от опыта и интуиции проектировщиков и наладчиков системы оптимизации.

Далее необходимо обеспечить максимальное быстродействие системы оптимизации без чрезмерного рысканья в окрестности точки оптимального режима. При этом следует учитывать, что наибольшее время в течение шага оптимизации затрачивается на сбор экспериментальных данных для расчета проекций градиента целевой функции в соответствии с соотношением (4.20). Чтобы наиболее эффективно использовать полученный экспериментальный материал, следует правильно выбрать значение шагового коэффициента . Начальное его значение выбирается исходя из опыта проектирования и наладки аналогичных систем автоматической оптимизации. Наиболее простым способом уточнения значений  является метод удвоения длины шага. Он заключается в том, что если после выполнения шага оптимизации с начальным значением окажется Fц< Fцo (при минимизации Fц) или Fц > Fцo ( при максимизации Fц), то производится еще один шаг без сбора экспериментальных данных, с  прежними значениями и , что эквивалентно удвоению . Если после этого значение Fц снова уменьшится (при минимизации) или увеличится (при максимизации), то приступают к обычному шагу оптимизации, т. е. начинают сбор экспериментальных данных но с новым, удвоенным значением . В противном случае попытка удвоения считается неудачной и очередной шаг оптимизации производится с прежним значением . Если же на очередном шаге оптимизации сразу окажется Fц>Fцо (при минимизации) или Fц<Fцо при максимизации, то следующий шаг производится обычным порядком, но с уменьшенным вдвое значением . Тем самым предотвращается рысканье.

Значения могут быть уточнены и расчётным путём, например – методом одномерной минимизации (или максимизации). Тогда они на каждом шаге оптимизации определяются исходя из условия минимальности или, соответственно – максимальности функции

  (4.22)

Здесь функция цц трактуется как функция одного лишь параметра  . Так получается, когда в формулу для Fц подставляют, вместо каждого xi, его конкретное значение, полученное на j-том шаге оптимизации, в виде

xij+·kj ∂Fц/∂xij,

причем значение kj считается неизвестным. Далее, исходя из уравнения

dцц/dkj=0,

определяется значение , соответствующее минимуму (при минимизации) или максимуму (при максимизации) функции цц в заданной точке xij. Если оптимизация проводится в соответствии с соотношением (4.18), а значение при этом определяется исходя из минимума цц, то такой метод оптимизации называют методом наискорейшего спуска. Имеется в виду  скорейший спуск к точке минимума целевой функции, но этот термин применяется и при поиске оптимального режима в точке максимума целевой функции.

Уточнение значений может производиться либо экспериментально, скажем – методом удвоения длины шага, либо аналитически, с использованием математической модели техпроцесса. В первом случае процедура удвоения длины шага требует дополнительного экспериментального определения значения Fц после удвоения шага, что ведет к увеличению времени уточнения , но дополнительные расчёты, которые также требуют времени, при этом не нужны. Использование модели техпроцесса, необходимое для уточнения kj аналитическим путём, скажем, методом одномерной оптимизации, позволяет избежать дополнительного сбора экспериментальных данных, но объём расчётов при этом многократно возрастает.

4.4.2. Автоматическая оптимизация электрохимической обработки

В качестве примера применения метода градиента рассмотрим оптимизацию электрохимической обработки (ЭХО).

При электрохимической обработке металла происходит  анодное растворение обрабатываемого участка в среде электролита. В процессе анодного растворения электролит загрязняется, и скорость внедрения обрабатывающего электрода в изделие постепенно уменьшается. Чтобы ее повысить, обрабатывающий электрод отодвигают от изделия и в это время производят промывку межэлектродного промежутка. Во время промывки анодное растворение не производится. После промывки производится контроль (измерение глубины внедрения обрабатывающего электрода в изделие), а затем, если заданная глубина ещё не достигнута, вновь приступают к анодному растворению металла. Таким образом, цикл ЭХО состоит из трёх стадий: времени анодного растворения ta, времени промывки tп и времени контроля tk,, причём рабочим операциям всегда предшествует контроль.

Если за время ta обрабатывающий электрод внедряется в изделие на глубину h, то средняя скорость внедрения электрода в изделие за цикл обработки составит

.  (4.23)

Величину tk делают минимально возможной, а величины tа и tп варьируют так, чтобы скорость Vср внедрения обрабатывающего электрода в изделие стала как можно больше. Чем больше Vср, тем выше производительность ЭХО. Поэтому, если настраивать ЭХО на максимум производительности, то в качестве целевой функции системы автоматической оптимизации (САО) целесообразно принять выражение (4.23), причем САО должна вести поиск максимума Vср. Этот поиск заключается в том, что САО периодически так изменяет параметры tа и tп, что значение Vср увеличивается. В идеале такая САО должна поддерживать значение Vср на максимально возможном уровне при всех возможных возмущениях. Величина и знак изменений  управляющих параметров tа и tп будем определять методом градиента, описанным выше. Каждый цикл расчёта приращений управляющих параметров и задания системе их новых значений будем называть шагом оптимизации. Поскольку в процессе реализации ЭХО качество электролита непрерывно ухудшается и при этом, как мы увидим ниже, смещается точка оптимального режима, то оптимизация ЭХО должна проводиться непрерывно в течение всего времени ЭХО.

Опишем методику автоматической оптимизации ЭХО, выразив параметры ЭХО в относительных единицах:

,

где – максимально возможное значение скорости внедрения электрода при самом благоприятном сочетании параметров;