Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b (стр. 4 )

Вычислим все необходимые суммы.

Получили систему:

Из второго уравнения: . Подставим, это выражение в первое уравнение.

Теперь находим второй коэффициент

Получаем явный вид эмпирической формулы

На рисунке показаны начальные точки и получившаяся функция.

7. Функция определена на . Найти значение многочлена Лагранжа, интерполирующего функцию и его вид по системе трех равномерных узлов ( шаг = 0,1) в точках 1,05; 1,09 и 1,15.

Решение.

Поскольку шаг равен 0,1, то точки интерполирования равны: , и .Вычислим значения функции в этих точках.

№
0	1,00	0
1	1,10	0,0953
2	1,20	0,1823

Полином Лагранжа стоиться по следующей формуле: , где

Найдем эти выражения для нашего случая.

Составляем полином Лагранжа

- вид полинома Лагранжа по системе трех равномерных узлов.

Вычислим значение этого полинома в заданных точках:

Ответ: - вид полинома Лагранжа по системе трех равномерных узлов.

, ,

8. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию на для равномерного разбиения с шагом

Найти значения в точках 1,05; 1,13 и 1,17

Решение.

Разобьем отрезок на равные части с шагом . Получим набор отрезков вида , где . Обозначим . На каждом таком отрезке введем функцию . Для определения коэффициентов используем условия непрерывности функции и её первых двух производных в точках   и условие интерполяции.

- условие непрерывности функции

- условие непрерывности первой производной

- условие непрерывности второй производной

- условие интерполяции

Разрешая эти уравнения, получаем следующие выражения для коэффициентов:

Причем

Определим эти коэффициенты.

Для определения составим систему уравнений (учтем, что и )

Наша матрица имеет вид

Для систем с подобными матрицами решаются методом прогонки. В этом методе сначала определяются коэффициенты и при , связанные между собой рекуррентными соотношениями. При и . Не путать

Определяем эти коэффициенты

       

Теперь, используя формулы обратного хода, получаем решение:

Определяем .