Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b (стр. 1 )

1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b.

и

Решение.

Условимся со следующими обозначениями

- это вычитание из первой строки, строки под номером 3, умноженной на 5.

Подобными действиями приведем расширенную матрицу к диагональному виду. Матрица имеет диагональный вид, если все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю. Т. е. матрица будет иметь следующий вид:

Расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

Приступим к линейным преобразованиям матрицы.

(это значит, что ко второй строке прибавляем первую, умноженную на ; вычитаем из 3 строки первую, умноженную на )

Получили диагональную матрицу вида

Теперь при помощи формул обратного хода находим решения уравнений:

Ответ:

2. Найти решение систем линейных алгебраических уравнений Ax = b методом итераций с точностью :

и

Решение.

Метод итераций является итерационным методом, т. е. при помощи него стоиться определенная последовательность векторов , где ( не путать j со степенью, это всего лишь индекс). Каждая компонента находиться из своего уравнения. Для определения этих уравнений воспользуемся первым уравнением в системе: . Выразим из этого уравнения через и . Получаем:

Аналогично из второго уравнения выражаем , а из третьего . В итоге получим три уравнения:

Для того, чтобы начать счет надо задать начальное приближение. Заметим, что в матрице А на главной диагонали стоят самые большие по модулю числа в каждой строке. Таким образом, можем сказать, что мы имеем дело с диагональным преобладанием в матрице. Тогда метод простой итерации будет сходиться при любых начальных приближениях. Для простоты зададимся нулевыми значениями: . По формулам вычисляем первое приближение:

После запятой оставим 4 знака. Поскольку точность наших вычислений должна быть , 4 знаков достаточно. На каждом шаге необходимо определять погрешность. Погрешность будем оценивать следующим образом:

Где - это длина вектора , где - вектор истинного решения. Мы можем так сделать, поскольку знаем точное решение из первого задания . Продолжать вычисления будем до тех пор пока не будет выполнено условие

Определим погрешность для первого шага.

Продолжаем вычисления. Находим

Определяем погрешность

Дальше указаны только значения векторов приближения и погрешности.

и

и

и

и

и

и

и

и

и

На 11 итерации останавливаемся, поскольку выполнено условие точности .

Ответ:

3. Методом половинного деления найти решение с точностью .

,

Решение.

Для метода половинного деления требуется сначала отделить корень уравнения, т. е. указать отрезок , на котором гарантировано располагается только один корень. Для этого отрезка будет выполняться соотношение . Значение функции на концах отрезка будут различного знака. В качестве значения можно взять . Подставим это значение в функцию

. Выходит, что значение . Для это найдем производную функции и её нули.

.  Видим, что производная обращается в ноль только в одной точке . При - это значит, что функция на множестве возрастает. Поскольку , то функция при пересекает ось Ox только один раз. Поэтому достаточно найти, такое число b, что . Можем к примеру взять (можем взять любое другое, только бы удовлетворяло условиям и ).