Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b (стр. 6 )

Номер итерации ( )	Точка дифференцирования,	Значение функции в точке ,	Значение функции
0	0	1	0
1	0,2	1	0,2
2	0,4	1,04	0,416
3	0,6	1,1232	0,6739
4	0,8	1,258	1,0064
5	1	1,4593	1,4593

Набор является табличным решением дифференциального уравнения.

Классический метод Рунге-Кутта (4-ого порядка)

Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка представляют собой уже более сложную конструкцию, и выражается следующим образом:

Если есть задача Коши вида: , , то приближенное значение при равномерном разбиении отрезка вычисляется по формуле:

, где

,

,

,

Расчет ведется, пока не будет достигнуто значение .

В нашем случае , а и

Расчет необходимо вести, пока не будет достигнута (поскольку задано условие задачи ). Это произойдет при ( ).

Вычисляем значения функции в точках . Результаты занесены в таблицу.

Номер итерации ()	Точки	Коэффициент	Коэффициент	Коэффициент	Коэффициент	Значение
0	0	0	0,1	0,101	0,204	1
1	0,2	0,204	0,3122	0,3154	0,4333	1,0202
2	0,4	0,4333	0,5633	0,5698	0,7183	1,0833
3	0,6	0,7183	0,8883	0,9002	1,1018	1,1972
4	0,8	1,1017	1,3386	1,3599	1,6491	1,3771
5	1	1,6487	1,9949	2,0330	2,4664	1,6487

Набор является табличным решением дифференциального уравнения

11. Найти решение задачи безусловной минимизации . Установить множество глобального решения:

Решение.

Решим эту задачу методом покоординатного спуска.

Для этого метода необходимо задаться начальным приближением . Как выбрать это приближение, описано ниже. Затем фиксируем значение переменной . Получаем функцию одной переменной . Минимизируем её любым методом одномерной оптимизации (например: методом золотого сечения). Находим точку минимума для , которая равна . Затем фиксируем в функции другую координату . И проводим оптимизацию теперь уже для функции . Получаем точку . В итоге, у нас есть точка . Проверяем условие точности, которое запишем следующим образом: . Если оно не удовлетворено, то фиксируем и оптимизируем и т. д.

Определим множество допустимых начальных приближений, чтобы метод сходился к минимуму функции. Воспользуемся теоремой. Рассмотрим функцию двух переменных. Выберем некоторое начальное приближение и проведем линию уровня через эту точку. Пусть в области , ограниченной этой линией уровня, выполняются неравенства, означающий положительную определенность квадратичной формы:

Тогда спуск по координатам сходится к минимуму из данного начального приближения, причем линейно.

Выберем произвольную точку начального приближения . Линия уровня будет выглядеть следующим образом : , где .

Уравнение можно преобразовать.

или

- это уравнение окружности с радиусом и началом в .

Найдем производные

; ;

Видим, что условия выполнены (мы же можем взять к примеру , а ). Причем стоит отметить, что эти условия выполнены на всем пространстве . Это и есть множество глобального решения. Выходит, что начальное приближение мы можем взять любое, метод в любом случае сойдется к минимуму.

Для простоты счета возьмем начальное приближение

Фиксируем , и получаем функцию - это парабола. Использовать метод золотого сечения ни к чему, поскольку минимум параболы находится в вершине параболы. . Фиксируем . Получаем функцию - парабола. Минимум в вершине. .

Определяем погрешность

Условие не выполнено. Продолжаем расчет.

Фиксируем , и получаем функцию

- это парабола. Минимум параболы находится в вершине параболы. . Фиксируем . Получаем функцию - парабола. Минимум в вершине. . Видим, что , а это означает, что - глобальная точка минимума.

Эту задачу проще было решить аналитически, используя методы математического анализа. Для этого надо найти первые частные производные и приравнять их к нулю.

Решая эти уравнения, получаем, что , а  . Теперь составляем квадратичную форму вида

Она выглядит следующим образом: . Видим, что она положительно определена (поскольку сумма квадратов всегда положительна). Поэтому по теореме математического анализа следует, что точка - точка глобального минимума.

С геометрической точки зрения функция  порождает поверхность второго порядка, которая называется конус, а точка - это вершина конуса.