Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b (стр. 5 )

Определяем

При вычислении значений в необходимых точках необходимо выбрать отрезок, которому принадлежит эта точка.

Точка . Она принадлежит отрезку . Таким образом, для вычисления значения необходимо применять коэффициенты .

Точка . Она принадлежит отрезку . Таким образом, для вычисления значения необходимо применять коэффициенты .

Точка . Она принадлежит отрезку . Таким образом, для вычисления значения необходимо применять коэффициенты .

9. Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования разбит на части.

Решение.

Для всех методов составим таблицу, в которую занесем точки разбиения и значение функции в этих точках. В нашем случае пределы интегрирования равны . Точки разбиения можно вычислить по формуле , где , а получается автоматически. Функция интегрирования выглядит следующим образом: . Составляем таблицу.

Номер итерации ()	Точки разбиения ()	Значение функции
0	0	1
1	0,25	0,9701
2	0,5	0,8944
3	0,75	0,8
4	1	0,7071

Метод прямоугольников.

Метод прямоугольников заключается в том, что на каждом отрезке разбиения исходная функция заменяется константой равной , а интеграл (площадь прямоугольника). Заданный интеграл можно разбить на сумму интегралов по отрезкам разбиения.

Необходимо вычислить значения функции в промежуточных точках . Результаты занесены в таблицу.

Номер итерации ()		Значение функции
0	0,125	0,9923
1	0,375	0,9363
2	0,625	0,848
3	0,875	0,7526

Вычисляем интеграл.

Метод трапеций.

Метод трапеций заключается в том, что на каждом отрезке разбиения исходная функция заменяется линейной функцией, проходящей через точки и , а интеграл (площадь трапеции). Заданный интеграл можно разбить на сумму интегралов по отрезкам разбиения.

Вычисляем интеграл

Метод Симпсона.

Метод Симпсона заключается в том, что на каждом отрезке разбиения исходная функция заменяется параболой, проходящей через точки , и , а интеграл . Заданный интеграл можно разбить на сумму интегралов по отрезкам разбиения.

Вычисляем интеграл.

10. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта:

, ,

Решение.

Метод Эйлера.

Метод Эйлера помогает построить табличную функцию, которая является решением дифференциального уравнения вида , .

Суть метода состоит в замене производной на её разностный аналог: . Значение функции берется в предыдущей точке. Получаем уравнение:

Из этого уравнения выражаем : . Если разбиение равномерное с шагом , то получим более простую формулу.

В нашем случае , а и

Расчет необходимо вести, пока не будет достигнута (поскольку задано условие задачи ). Это произойдет при ( ).

Вычисляем значения функции в точках . Результаты занесены в таблицу.