Упущенные возможности воспитательной работы на уроках математики
(или почему математике нужно учить всех)
История первая
Как математика стала сверхъестественной наукой
Не могу не начать с реплики в адрес другой науки – истории. То, что она пишется беспардонно лживыми мемориальными досками, становится ясно при малейшей попытке присмотреться к тому, что происходит прямо на наших глазах. Вслед за народовольцем Морозовым, попытку привести в порядок даты и факты предпринял академик (математик, а не историк) Анатолий Тимофеевич Фоменко. Меня вполне убеждают его выводы о том, что, вследствие приписок, только после Рождества Христова история стала «длиннее» примерно на тысячу лет. Однако, во избежание путаницы, я буду ссылаться здесь только на «официальные» даты.
Если верить им, то писаная история математики составляет 6 тысяч лет. Еще за 4 тысячи лет до нашей эры жрецы Древнего Египта занимались вполне профессиональной математической деятельностью. В частности, они рассчитывали и предсказывали солнечные и лунные затмения. Обоснованное и полное решение этой задачи требует квалификации на уровне студента 2 курса отделения астрономии СПбГУ (или другого вуза, где есть такая специальность). Заметьте, что это происходило задолго не только до Коперника, но даже и Птолемея. Какой именно математической моделью пользовались жрецы, никто не знает. Тем не менее, история не зафиксировала ни ложных предсказаний, ни пропуска реальных затмений.
Другой практически важной задачей было «честное» распределение земельных наделов. В отличие от современного, Древний Египет был сосредоточен в узкой долине Нила. Ежегодно (вплоть до постройки с помощью СССР Асуанской ГЭС) Нил разливался, сметая все на своем пути. После потопа люди не находили ни заборов, разграничивающих их участки, ни даже построек, но зато земля покрывалась толстым слоем плодородного ила. Поэтому каждый год приходилось заново делить эту плодороднейшую землю. Не случайно с тех пор до Евклида (и много позже) под равенством в геометрии понималось именно равенство по мере (площади, длине, объему). Право делить землю принадлежало жрецам, а нужное для этого знание (умение) являлось их профессиональной тайной, передаваемой от поколения к поколению.
Здесь стоит заметить, что циркулей в те времена еще не было. Вместо них египтяне использовали высушенные воловьи хвосты. Герпедонапты (веревковязатели) выравнивали эти эталоны длины между собой, а затем связывали в нужных пропорциях. Например, 3:4:5, что сохранилось в названии египетского треугольника – древнейшего и остроумнейшего способа построения прямого угла.
Не менее развитыми были математика и астрономия в Вавилоне (3 тысячи лет до нашей эры). Глиняные таблички сохранили до наших дней вычисления, точность которых соответствует 12 десятичным цифрам (как и Египет, Вавилон пользовался 60-чной системой, сохранившейся до наших дней в делении градуса и часа на минуты и секунды).
Если у Вас хватило терпения дочитать до этого места длинный, как и сама древняя история, текст, то теперь нужно переварить ключевую мысль: на протяжении первых 33 из 60 веков истории математики в ней не было ни одной теоремы. Более половины своей истории математика оставалась естественной наукой. Геометрия занимала место точно посередине между астрономией и географией, отличаясь от них ничуть не больше, чем сами они между собой.
Теоремы и их доказательства – достижение античной цивилизации. Здесь видна прямая связь с государственным устройством – афинской демократией. Только в относительно свободном обществе появилась потребность в доказательствах. Ни фараоны, ни жрецы не нуждались в них. Только уравняв граждан в их правах, демократия сделала возможными как спортивные состязания (олимпийские игры), так и умственные (публичные философские диспуты).
Пифагор (6 век до нашей эры) преуспел в обоих. В молодости он был известен как кулачный боец (в современной терминологии – олимпийский чемпион по боксу). А к старости обзавелся обширной плеядой учеников, которых в его честь так и называли пифагорейцами. Впрочем, скорее это была даже не научная школа, а религиозная секта.
Пифагор не был первым и не стал последним, кто попытался построить религию, положив математическое знание в ее фундамент. Здесь уже упомянуты древнеегипетские жрецы, а из математиков первой величины нового времени, прежде всего, нужно назвать Лейбница. Однако (видимо сказалось кулачное прошлое!) только у Пифагора его научная школа в плане внутреннего устройства и дисциплины оказалась подобна современным школам восточных единоборств.
Надо заметить, что к официальным богам своего времени Пифагор относился с формальным почтением. Доказав свою знаменитую теорему, он принес сотню быков в жертву Аполлону. Говорят, что с тех пор все скоты начинают дрожать всякий раз, когда открывается новая научная истина. Но сила парнасских богов пошла на убыль, а время олимпийских богов еще не наступило. Числовая мистика Пифагора естественно заполнила эту брешь.
В основу своей веры Пифагор положил лозунг «Числа правят миром». Тогдашние представления о числе еще было весьма далеки от современных. Если перейти на принятый сейчас язык, то можно сказать, что Пифагор и его ученики знали только рациональные числа, понимая их как отношения (длин) отрезков. При этом в теории измерения величин фактически подразумевалось существование общей меры – такой единицы измерения, которая откладывалась бы целое число раз в любых двух заранее выбранных отрезках.
Именно последнее утверждение и опроверг уже после смерти Пифагора его ученик Ипатий. В переводе на современный язык теорема Ипатия утверждает, что число √2 – иррационально. Мелким шрифтом среди задач эту теорему можно найти и в школьных учебниках алгебры. Однако в 5 веке до нашей эры она относилась к геометрии, а для пифагорейцев звучала устрашающе. Ипатий доказал, что если за единицу измерения взять сторону квадрата, то его диагональ вообще невозможно измерить. Действительно, на какие бы мелкие доли ни делить сторону, диагональ квадрата никогда не будет измеряться в точности целым числом тех же долей.
Пифагорейцы – друзья и товарищи Ипатия – мгновенно оценили, до какой степени его теорема подрывает устои религии, созданной их учителем. Это выдающееся открытие стоило Ипатию жизни: его сбросили с корабля в Средиземное море. А теорему полагалось «забыть» и впредь никогда не открывать под страхом смерти. Однако, как и в случае с Геростратом, публично-показательный запрет привел к прямо противоположному эффекту, благодаря чему история сохранила как имя, так и события.
Наконец, о том, почему именно эта драматическая история стала поворотным пунктом в развитии математики. Древнейшее математическое доказательство, упоминание о котором история донесла до наших дней, – теорема Фалеса (7 век до нашей эры). Попытку вывести все теоремы геометрии из сравнительно короткого списка аксиом впервые предпринял Евдокс (4 век до нашей эры). Наконец, Евклид (3 век до нашей эры) построил грандиозный памятник геометрической истине, не утративший своей актуальности вплоть до нашего времени. Хронологически Ипатий стоит точно в середине этого списка. Но дело, конечно же, не в хронологии.
Многие столетия спустя второсортные философы выдвинули тезис «Практика – критерий истины», который затем марксисты подняли в качестве знамени. Однако еще две с половиной тысячи лет тому назад в конфликте практического опыта и умозрительного знания верх одержала именно логика.
Как должна была бы поступить в подобной ситуации любая естественная наука (среди которых, вплоть до открытия Ипатия, оставалась и математика)? Если эксперимент опровергает теорию, то именно теория подвергается переделке, пересмотру, либо вовсе отвергается. Например, неоднократно подобная «модернизация» происходила в физике. Один раз, когда опыты Галилея опровергли законы Аристотеля. В другой раз, когда опыт Майкельсона-Морли поставил под сомнение механику самого Галилея. И много раз еще.
А с тем, что теорема Ипатия противоречит опыту реальных измерений, невозможно даже спорить. Любой ученик начальной школы овладевает искусством прикладывать линейку к отрезку, ни в малейшей степени не задумываясь над фактом существования длины отрезка, которую он ищет.
Более того, уже в двадцатом веке появился сильнейший аргумент и против буквоедов, которых не удовлетворяет точность измерения в тех случаях, когда остается еле заметный на глаз «собачий хвостик», несколько меньший цены деления линейки. Это теорема о существовании сверхточных приближений иррациональных чисел.
Если единицу измерения разделить на N частей и последовательно откладывать полученные доли на измеряемом отрезке, то всегда можно приближенно найти его длину в виде дроби со знаменателем N и ошибкой не более 1/N. Это обычное приближение. Но если окажется, что ошибка меньше, чем 1/NІ (но дробь, как и прежде, со знаменателем N), то такое приближение называется сверхточным.
Отдельные сверхточные приближения были известны еще в древности. Например, для числа р во многих книгах приводится дробь 22/7 , но обычно не дается достаточно вразумительных объяснений, почему выбран столь странный знаменатель. Причина же в том, что отличие 22/7 от р меньше не только 1/49 (чего уже было бы достаточно для того, чтобы называться сверхточным), но даже меньше 1/700. Следующее сверхточное приближение для р носит имя его открывателя Меция и равно 355/113.
Если метр разбить на миллиметры (N=1000), то в типичном случае ошибка измерения составляет примерно половину миллиметра и хорошо заметна на глаз. Но если приближение сверхточное, то ошибка меньше микрона (1/1000 миллиметра), и заметить ее можно только в микроскоп. Поэтому существование сверхточных приближений с точки зрения практики измерений означает возможность так разбить единицу длины на доли, что ошибка измерения не будет обнаружена даже самым совершенным инструментом.
Если бы математика осталась естественной наукой, то она должна была отвергнуть теорему Ипатия (но вместе с ней – и учение Пифагора), как несовместимые с практикой геометрических измерений. Однако она пошла своим путем, отдав предпочтение логике в ущерб физике. Именно из-за случившегося 25 веков назад разрыва математики с естественными науками, великий советский физик Лев Давидович Ландау назвал математику сверхъестественной наукой.
История вторая
сумел избежать участи «врагов народа»
Две сходных истории случились в середине ХХ века. Сначала в предвоенные годы в СССР – эпоха безосновательных массовых репрессий. То, что принято связывать с 1937, хотя фактически растянулось с конца 1934 до 1941 и даже до 1952 года.
Чисто формально толчком к развязыванию массовых репрессий послужило убийство 1 декабря 1934г. Расследовавший его НКВД получил практически неограниченные полномочия. Достаточно было лишь объявить «врагом народа» любого человека и никакие доказательства его вины уже не требовались: зачем церемониться с врагом, быстрее к стенке и дело с концом. На начальном этапе работники НКВД старались еще проявлять осторожность и осмотрительность, избегая излишней инициативы. Однако, войдя во вкус, многие из них увидели прекрасную возможность расправиться с личными недругами, а также с обладателями движимого и недвижимого имущества, которое затем, как правило, переходило тем, кто непосредственно вел дела ни в чем не повинных жертв.
Точное число репрессированных теперь едва ли уже можно восстановить, но речь идет о десятках миллионов советских граждан и нескольких миллионах иностранцев. На заключительном этапе каток репрессий не пощадил даже своих организаторов: в 1937-38г. были расстреляны наркомы внутренних дел Ежов и Ягода, а в 1953г. – Берия.
Сходная ситуация сложилась в 1951г. и в оккупированной советскими войсками Польше. Планируя изменить систему распределения власти в этой стране, просоветские органы внутренних дел рискнули арестовать даже руководителя Польской объединенной рабочей партии Владислава Гомулку. Однако механизм, не допускавший в СССР никаких сбоев, здесь неожиданно не сработал. Общественное мнение Польши не приняло арест Гомулки как данность, требуя гласного суда над ним. Но в распоряжении обвинителей для подобного суда не было даже малейших аргументов. В итоге спустя несколько месяцев Гомулку пришлось освободить, после чего он вновь на долгие годы возглавил партию, а затем и государство.
Сравнение СССР 1930-ых годов с Польшей 1950-ых позволяет выделить ключевое различие, вследствие которого эти две истории с общим началом пришли к диаметрально противоположным финалам. Причина качественно различных общественных настроений коренится в потребности в доказательствах, сформированной у подавляющей массы поляков их школьным курсом математики (геометрии), но практически отсутствовавшей у советских граждан.
Резюме у этой истории очень грустное. Уроков 1937 года наша страна не усвоила и, тем более, не преодолела. Не допустить повторения подобного можно единственным способом: не просто вернуть в школу курс геометрии середины минувшего века, но и максимально поднять статус этой дисциплины.
И уже совсем сиюминутное: приговор по делу Ходорковского… Ассоциации более чем напрашиваются.
История третья
Как генералы прибегали в Политбюро жаловаться на академика Колмогорова
Весьма распространено массовое заблуждение, будто бы целью преподавания геометрии в общеобразовательной средней школе является знание конкретных фактов, составляющих содержание геометрических теорем, и умение применять их на практике.
Попытаемся внимательнее разобраться, где эти факты и как они применяются. В качестве геометрической задачи с практическим содержанием учителя и методисты чаще всего называют теорему о том, что угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Но давайте вникнем в суть происходящего.
Чтобы использовать данную теорему для ориентирования на местности для начала нужно «заблудиться» в чистом поле (ибо ни в каком другом месте не окажется нужных для подобного применения теоремы трех дальних высотных ориентиров). При себе нужно иметь циркуль (для построения окружностей) и подробную карту местности (на которой придется эти окружности построить). Но самое смешное состоит в том, что нельзя брать с собой компас (иначе вместо окружностей гораздо легче провести азимутальные лучи к тем же самым высотным ориентирам). Согласитесь, что крайне редко встречаются путешественники со столь странной экипировкой.
Подробный анализ других разделов курса геометрии опровергает прагматическую ценность подавляющего большинства теорем. Исключение составляют лишь простейшие задачи, относящиеся к непосредственному измерению геометрических величин.
Отсюда легко сделать вывод о полной бесполезности школьной геометрии. Такая точка зрения начинает получать распространение лишь в самые последние годы. Прежде ставились лишь гораздо менее радикальные эксперименты. Но если чисто формально курс геометрии постоянно присутствовал в советском школьном образовании, то в 1970-ые гг. прошел общесоюзный эксперимент, в ходе которого уровень преподавания геометрии упал ниже критической черты. Речь идет о внедрении учебников, написанных академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым.
Один из лидеров советской математической науки, опубликовал собственные оригинальные научные труды почти по всем ее разделам, но за исключением самой геометрии. Его собственный опыт преподавания в школе ограничился интернатом при МГУ для одаренных детей. Оба этих обстоятельства личной биографии сказались на работе над учебником самым фатальным образом. Эксперимент конца 1960-ых годов в Тосненском районе Ленинградской области фактически с треском провалился. Однако массовый тираж уже стоял в плане типографии, и ради его оправдания академик согласился даже на подлог: срочно были написаны положительные отзывы из Крыма, где эксперимент не проводился. Весьма отягчающим обстоятельством оказался теоретико-множественный подход и соответствующая терминология, не известные подавляющему большинству учителей, которым первыми пришлось работать по новым учебникам.
Ни учительское, ни вузовское общественное мнение, подкрепленное многочисленными письмами в разные инстанции, не смогли остановить массовое внедрение учебников . Это удалось сделать чуть позже армейскому генералитету. Когда юноши, изучавшие геометрию по учебникам , стали приходить в армию, оказалось, что им нельзя было доверить современное оружие.
