Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и фундаментальной информатики
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института математики
_____________//
« 11» октября 2014 г.
ИТОГОВАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АТТЕСТАЦИЯ ВЫПУСКНИКОВ
ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ
ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО
НАПРАВЛЕНИЯМ ПОДГОТОВКИ
010300.62 “Математика. Компьютерные науки”
010500 .62“Прикладная математика и информатика”
010100.62 “Математика”
Красноярск 2014
Программа государственного экзамена по направлению 010500 .62“Прикладная математика и информатика” (бакалавриат)
Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка. Предел последовательности и предел функции в точке. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний. Непрерывность функции в точке и на отрезке, точки разрыва 1-гo и 2-го рода. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Формула Лагранжа конечных приращений. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Схема исследования функции и построения ее графика. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница. Дифференцирование интегралов с параметром. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова). Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в 
. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка. Линейные ДУ 
-гo порядка с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.). Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач. Метод разделения переменных. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости. Схема построения разностного решения дифференциальных задач. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности. Классификация интерфейсов вычислительных систем. Основные функции операционной системы. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, 
-деревья). Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии. Список литературы
НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Никольский, математического анализа: в 2 т. / . – М.: Наука, 1975. Фихтенгольц, дифференциального и интегрального исчисления / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Зорич, анализ: в 2 т. / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. Сидоров, по теории функций комплексного переменного / , , . – М.: Наука, 1989. Шабат, в комплексный анализ / . – М.: Лань, 2004. Колмогоров, теории функций и функционального анализа / , . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Боровков, вероятностей / . – М.: Либроком, 2009. Севастьянов, теории вероятностей и математической статистики / . – М.: ИКИ, 2004. Ивченко, статистика: учеб. пособие. /
Г. И. Ивченко, . – М.: Высш. шк., 1984. Турчак, численных методов / , . – М.: Физматлит, 2003. Бахвалов, методы / , , . – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. Самарский, в теорию разностных схем / . – М.: Наука, 1971. Понтрягин, дифференциальные уравнения / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Петровский, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / . – М.: Либроком, 2009. Арнольд, дифференциальные уравнения / . – М.: Наука, 1984. Михайлов, уравнения в частных производных / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Тихонов, математической физики / , . – М.: МГУ Наука, 2004. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.: Мир, 1989. Хоменко, данных: Учеб. для высших учебных заведений / , , . – СПб: КОРОНА принт, 2002. Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т. C. Карпова. – СПб: Питер, 2001. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 2002.
Программа государственного экзамена по направлению 010300.62 “Математика. Компьютерные науки” (бакалавриат)
Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-ro порядка. Теорема о функциональной полноте исчисления высказываний. Предел последовательности и предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Формула Тейлора. Схема исследования функции и построения ее графика. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой. Первообразная функции, определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Кратные интегралы. Поверхностные и криволинейные интегралы. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова). Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в 
. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка. Линейные ДУ 
-гo порядка с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек. Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач. Метод разделения переменных. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости. Схема построения разностного решения дифференциальных задач. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности. Классификация интерфейсов вычислительных систем. Основные функции операционной системы. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Деревья (бинарные, 
-деревья). Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Коллекции. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения. Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии. Основные криптосистемы; их сравнение. Классы шифров. Алгоритмы и их сложности. Классы P и NP. Задача о максимальном потоке и алгоритмы ее решения. Задача о минимальном остове. Алгоритмы Прима и Краскала. Теория формальных грамматик. Основные подходы при программировании с разделяемыми переменными: задача критической секции, барьеры, семафоры, мониторы. Основные подходы при распределенном программировании: обмен сообщениями, удаленный вызов процедур, рандеву. Модель взаимодействия открытых систем OSI. Функции и назначение уровней. Стек протоколов TCP/IP. Назначение и принципы функционирования основных протоколов. Метод резолюций. Логический вывод в продукционных системах. Методы построения непрерывных моделей по дискретному набору данных. Список литературы
Г. И. Ивченко, . – М.: Высш. шк., 1984. Турчак, численных методов / , . – М.: Физматлит, 2003. Бахвалов, методы / , , . – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. Самарский, в теорию разностных схем / . – М.: Наука, 1971. Понтрягин, дифференциальные уравнения / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Петровский, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / . – М.: Либроком, 2009. Арнольд, дифференциальные уравнения /
. – М.: Наука, 1984.
Михайлов, уравнения в частных производных /. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Тихонов, математической физики / , . – М.: МГУ Наука, 2004. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.: Мир, 1999. Хоменко, данных: Учеб. для высших учебных заведений /, , . – СПб: КОРОНА принт, 2002.
Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т. C. Карпова. – СПб: Питер, 2002. Гук, М. Аппаратные средства РС / М. Гук. – СПб, 2001. Быкова, математика с использованием ЭВМ / . – Красноярск, 2006. Емеличев, по теории графов / . – М.: Наука, 1990. Алферов, криптографии / , ,, . – М.: Гелиос АРВ, 2001.
Лорьер, Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта / Ж.-Л. Лорьер. – М.: Мир, 1991. Уотермен, Д. Руководство по экспертным системам / Д. Уотермен. – М.: Мир, 1989. Олифер, сети. Принципы, технологии, протоколы /, . – СПб.: Питер, 2001.
Грегори, Н. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования / Н. Грегори, Эндрюс. – М.: Вильямс, 2003. Воеводин, вычисления / ,Вл. В. Воеводин. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.
Немнюрин, С. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С. Немнюрин, О. Стесик. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.Программа государственного экзамена по направлению 010100.62 “Математика” (бакалавриат)
Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями
Теоремы об умножении определителей и о ранге матрицы. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли и теоремы об однородных уравнениях. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства. Линейное преобразование, его матрицы, характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Жорданова форма матрицы. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Канонические уравнения кривых и поверхностей 2-гo порядка. Основная теорема арифметики, сравнения, кольцо 
.Теорема Ферма о сравнениях по простому модулю, теорема Эйлера (о функции Эйлера) и теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Приведение формул исчисления высказываний (ИВ) к нормальным формам. Доказуемые и тождественно истинные формулы ИВ. Теорема о полноте ИВ. Рекурсивность основных арифметических функций. Машины Тьюринга для вычисления простейших рекурсивных функций. Классификация состояний в неприводимой Марковской цепи. Теорема солидарности. Предел последовательности и предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Дифференцируемость и дифференциалы функций одной и многих переменных. Формула Лагранжа конечных приращений. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Схема исследования функции и построения ее графика. Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Теорема о неявной функции, дифференцирование неявной функции. Градиент, касательная плоскость и нормаль в точке поверхности. Уравнения касательной и нормали к кривой. Первообразная функции, определенный интеграл, его геометрический и механический смысл, теорема о среднем значении. Интегрируемые функции. Формула Ньютона-Лейбница. Дифференцирование интегралов с параметром. Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса. Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова). Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальная последовательность, полное пространство. Принцип сжимающих отображений. Компактное пространство и множество. Критерий компактности в 
. Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости. Мера Лебега и интеграл Лебега. Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Разложение в ряд Тейлора голоморфной функции, формулы выражения коэффициентов через производную и интеграл. Теорема единственности. Классификация изолированных особых точек. Теорема о вычетах. Ряд Лорана. Теорема Руше и принцип аргумента. Дифференциальные уравнения (ДУ) простейших типов и их интегрирование. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ДУ 1-го порядка. Линейные ДУ 
-гo порядка с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений линейных систем ДУ 2-гo порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и др.). Классификация ДУ в частных производных 2-го порядка. Постановка краевых задач для ДУ в частных производных 2-го порядка. Определение классического и обобщенного решения краевых задач. Метод разделения переменных. Определение интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости. Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости. Схема построения разностного решения дифференциальных задач. Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ. Неявная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ. Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности. Структуры данных: массивы, записи, множества, списки (стеки, очереди, деки). Бинарные деревья. Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий. Основы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм). Списки объектов. Симплекс-метод. Постановка задачи. Способы решения. Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований. Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных. Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения. Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты. Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли. Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии. Список литературы
Беклемишев, аналитической геометрии и линейной алгебры / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Курош, высшей алгебры / . – СПб: Лань, 2008. Мальцев, линейной алгебры / . – СПб: Лань, 2009. Мальцев, и рекурсивные функции / . – М.: Наука, 1986. Ершов, логика / , . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Никольский, математического анализа: в 2 т. / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Фихтенгольц, дифференциального и интегрального исчисления / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. Зорич, анализ: в 2 т. / . – М.: Физматлит, 2007. Сидоров, по теории функций комплексного переменного / , , . – М.: Наука, 1989. Шабат, в комплексный анализ / . – М.: Лань, 2004. Колмогоров, теории функций и функционального анализа / , . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Боровков, вероятностей / . – М.:Либроком, 2009. Севастьянов, теории вероятностей и математической статистики / . – М.: Институт компьютерных исследований, 2004. Ивченко, статистика: учеб. пособие. /Г. И. Ивченко, . – М.: Высш. шк., 1984. Турчак, численных методов / , . – М.: Физматлит, 2003. Бахвалов, методы / , , . – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. Самарский, в теорию разностных схем / . – М.: Наука, 1971. Понтрягин, дифференциальные уравнения / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Петровский, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / . – М.: Либроком, 2009. Арнольд, дифференциальные уравнения / . – М.: Наука, 1984. Михайлов, уравнения в частных производных / . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Тихонов, математической физики / , . – М.: МГУ Наука, 2004. Вирт, Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт. – М.: Мир, 1989. Хоменко, данных: Учеб. для высших учебных заведений / , , . – СПб: КОРОНА принт, 2002. Карпова, Т. C. Базы данных: модели, разработка, реализация / Т. C. Карпова. – СПб: Питер, 2001.
Образец экзаменационного билета заданий экзамена
государственный экзамен
по направлению (бакалавры)
Вариант 1
Решить матричное уравнение
, где 
(2 балла) Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (9,6,4) на прямую 
(система координат прямоугольная). (1 балл) Исследовать и построить график функции 
(2 балла) Разложив рациональную дробь в сумму простейших, вычислить интеграл 
(2 балла) Решить дифференциальное уравнение 
(1 балл) Решить смешанную задачу 
(2 балла) Только один из ключей подходит к данной двери. Найти вероятность того, что для открывания двери придется опробовать ровно 
ключей. (2 балла) Для уравнения
построить схему вида 
наиболее высокого порядка аппроксимации. (2 балла) Написать программу нахождения пары пространственных (трехмерных) точек с максимальным расстоянием между ними. Множество задается вводом координат точек с клавиатуры. (1 балл) а) Запишите формулу конечных приращений.
б) Запишите интерполяционный многочлен Лагранжа.
в) Запишите неравенство Чебышева.
г) Запишите уравнение касательной плоскости к поверхности.
д) Дайте определение смешанного произведения векторов.
е) Дайте определение собственного вектора (3 балла)
Регламент проведения государственного экзамена
Общее время проведения экзамена – 4 часа. Форма проведения экзамена – письменно. Место и время проведения экзамена - согласно расписанию ГЭК, которое составляется за месяц до начало работы ГЭК. Студент приходит на экзамен не позднее, чем за 15 минут до его начала. Во время экзамена допускается использование справочной литературы по согласованию с комиссией. Письменную работу проверяет комиссия. Работа оценивается по 20 бальной шкале. Каждое задание имеет свой оценочный бал в зависимости от уровня сложности. Критерии оценки за задание: «0»- задание не выполнялось или выполнено не верно; «50% от оценочного балла» - задание выполнено частично, в целом идея решения верна; «100% от оценочного балла» - задание выполнено полностью и правильно. Общая оценка за работу выставляется по сумме баллов всеми членами комиссии. Критерии общей оценки по сумме баллов (переводная шкала) устанавливаются комиссией. Апелляция проводится в день экзамена после завершения проверки письменных работ и объявления результатов экзамена на основании поданного заявления на имя председателя комиссии.
Программы государственных экзаменов обсуждены на заседании НУМСИ математики
«10» октября 2014 г. протокол № 10
Председатель НУМСИ __________________________________________
(подпись)
