Тема 9. Движение заряженных частиц в полях (стр. 2 )

9.2. Магнитное взаимодействие точечных зарядов

       Несложно показать, что сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, – это релятивистский эффект, обусловленный конечностью скорости распространения света. Для этого найдем силу магнитного взаимодействия двух точечных зарядов  и  , движущихся со скоростями  и  . Каждый из них создает магнитное поле, действующее на другой заряд; индукция такого поля определяется законом Био-Савара-Лапласа.

       Обратимся вновь к проводнику с током. Согласно принципу суперпозиции, его магнитное поле обусловлено наложением магнитных полей всех носителей тока в проводнике. Имеем следующее:

                               

(здесь  – сила тока в элементе проводника  объемом  , – площадь поперечного сечения проводника,  – вектор плотности тока). Для упрощения рассуждений будем считать, что ток обусловлен движением только положительно заряженных частиц. В таком случае 

                       

(здесь  – заряд частицы,  – их концентрация,  – скорость дрейфа). 

Согласно закону Био-Савара-Лапласа,

                                       .

Сделаем здесь замену  :

                                       .

Поскольку все носители тока движутся в проводнике с одинаковой скоростью, найдем индукцию поля, создаваемого одной частицей:

                                       .                                        (9.1)

Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы    и  , его направление по отношению к этой плоскости определяется знаком заряда (рис. 9.1 а, б). Модуль вектора  равен нулю, если  либо , 

               

                                               Рис. 9.1

он имеет максимальное значение, если  .

       Магнитная сила, действующая на вторую частицу, движущуюся со скоростью    в магнитном поле первой частицы:

                                       .                                        (9.2)

Согласно  (9.1),

                                                                               (9.3)

(здесь  – вектор, характеризующий положение второй частицы относительно первой). Сделаем в равенстве (9.2) замену согласно (9.3):

                       .

Будем считать, что частицы движутся вдоль параллельных прямых, оставаясь напротив друг друга (рис.9.2). Из свойств векторного произведения следует, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка к нам, его модуль равен  . Вектор направлен противоположно вектору  ,

                               

                                               Рис. 9.2

а его модуль равен  . Поэтому

                                , .                (9.4)

Отсюда следует, что направление силы  определяется знаком произведения  : если заряды одноименны, магнитная сила  направлена вниз, т. е. противоположно вектору  . В таком случае сила  , действующая на первую частицу со стороны магнитного поля второй частицы, направлена вверх. Иначе говоря, одноименно заряженные частицы, движущиеся в одну сторону, будут притягиваться друг к другу, противоположно заряженные – отталкиваться. Полагая скорости движения обеих частиц одинаковыми, находим модуль силы их магнитного взаимодействия в вакууме:

                                       .

Модуль силы кулоновского взаимодействия этих же частиц:

                                       .

Легко видеть, что отношение магнитной силы к электростатической равно . В электродинамике доказывается, что ,  где  – скорость света в вакууме. Поэтому .

       Таким образом, величина силы магнитного взаимодействия заряженных частиц относительно кулоновской силы зависит от соотношения    и  .  Один из постулатов частной теории относительности гласит, что скорость света – наибольшая из всех скоростей, существующих в природе. Если же считать, что  ,