Тема 9. Движение заряженных частиц в полях (стр. 1 )

ТЕМА 9. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

9.1. Сила Лоренца

       Как известно, ток в металлическом проводнике представляет собой направленное движение электронов. Отсюда следует, что сила Ампера обусловлена тем, что магнитное поле действует на каждый электрон, и это действие передается всему проводнику.

       Найдем силу, действующую на один электрон. Для этого в равенстве (8.2) сделаем замену :

                                       

(здесь  – элементарный заряд, т. е. модуль заряда электрона). Учитывая, что вектор  направлен противоположно  дрейфу электронов, имеем:

                                       .

Понятно, что произведение  численно равно количеству электронов в элементе проводника длиной  .  Разделив  на эту величину, найдем силу, действующую на один электрон: 

                                       .

Поскольку заряд частицы является алгебраической величиной,  силу, действующую на нее, можно представить так:

                                       .

Модуль этой силы (она называется магнитной силой) ,  где  – угол между векторами  и  . Следовательно, если заряженная частица движется вдоль или против линий индукции, магнитная сила равна нулю. Ее вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы  и  . Поэтому магнитная сила не совершает работу над частицей и не изменяет ее кинетическую энергию.  На практике для определения направления действия магнитной силы используется правило левой руки; при этом необходимо учитывать, что заряд частицы – величина алгебраическая. Если же частица находится в магнитном и электрическом полях, то суммарная сила, действующая на нее, называется силой Лоренца:

                                       .

Тем не менее под силой Лоренца часто подразумевают лишь ее магнитную составляющую.

       Пусть заряженная частица движется в однородном магнитном поле. Как уже отмечалось, если  угол между векторами  и  равен нулю либо 1800, скорость частицы не изменяется, ее траектория представляет собой прямую линию. Если же  , модуль силы Лоренца равен  ,  она направлена  перпендикулярно  векторам  и  . В этом случае модуль скорости частицы остается постоянным, изменяется лишь направление вектора  .  Иначе говоря, частица будет двигаться по окружности. Из динамического  уравнения движения несложно найти ее радиус и период

обращения частицы:                                                                                

                               .

Легко видеть, что период не зависит от скорости частицы, но определяется индукцией магнитного поля и отношением  , которое называется удельным зарядом частицы.

       Пусть теперь вектор скорости  частицы образует с направлением линий индукции  угол . В этом случае  , где  и  – компоненты вектора  , перпендикулярный и параллельный направлению движения. Понятно, что ,  . В соответствии с этим сила Лоренца

                       .

Поскольку второе слагаемое равно нулю, движение частицы можно представить как суперпозицию вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, и прямолинейного перемещения вдоль силовых линий со скоростью  . В итоге заряженная частица будет двигаться по спирали, ось которой направлена вдоль линий индукции. Умножив период обращения на  , найдем шаг спирали, т. е. расстояние между соседними витками:

                                       ;

направление закручивания спирали определяется знаком заряда частицы.

       Формулы для периода обращения и шага спирали были получены в приближении  . В релятивистском случае  динамическое уравнение движения частицы имеет вид:

                                       .

Поскольку магнитная сила не изменяет модуль скорости,  , и уравнение упрощается:

                                       .

Понятно, что производная  представляет собой вектор нормального ускорения. Учитывая, что векторы  и  сонаправлены, можно перейти к скалярному уравнению:

       .

Легко видеть, что при  получаются соответствующие формулы для нерелятивистского случая.

       Если заряженная частица движется в неоднородном осесимметричном магнитном поле, то по мере проникновения ее в область с большей индукцией радиус спирали и шаг уменьшаются. Иначе говоря, частица движется по скручивающейся спирали, которая «навивается» на линии индукции. На этом явлении основана магнитная фокусировка пучков частиц в устройствах электронной оптики.