Тема 9. Движение заряженных частиц в полях (стр. 4 )

9.4. Эффект Холла

Этот эффект наблюдается при наличии тока в проводнике с прямоугольным сечением, помещенном в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, и заключается в возникновении разности потенциалов между противолежащими гранями проводника (рис.9.4). Опыт показывает, что модуль разности потенциалов между точками и 

  ,  (9.11)

где - постоянная Холла, – сила тока, – модуль магнитной индукции;  при изменении направления вектора знак разности потенциалов изменяется.

       

Рис. 9.4

       Пусть ток в проводнике обусловлен движением положительно заряженных частиц, например – дырками в полупроводнике. При этом сила тока        , где  – заряд частицы, – проекция ее скорости на ось

, - концентрация частиц, - площадь поперечного сечения проводника. Поскольку , сила тока . Под действием силы Лоренца при указанном на рис. 9.2 направлении вектора индукции носители тока будут отклоняться вверх. Поэтому на верхней грани проводника будет накапливаться избыточный положительный, на нижней грани – нескомпенсированный отрицательный заряд. В результате этого в проводнике возникнет поперечное электрическое поле, вектор напряженности которого будет направлен от верхней к нижней грани. По мере накопления разноименных зарядов напряженность этого поля будет увеличиваться до тех пор, пока не уравняются модули электрической и магнитной сил: (здесь - проекция вектора напряженности поперечного поля на ось ). Из этого равенства следует, что в установившемся режиме

                                        .  (9.12)

Поскольку напряженность поля в рассматриваемом случае изменяется только вдоль оси , . Проинтегрировав последнее равенство, найдем разность потенциалов между точками и  :

                                               .

Полагая поперечное поле однородным, имеем:

                                               .  (9.13)

Так как в рассматриваемом случае , величина разности потенциалов положительна. Если же  ток в проводнике  обусловлен движением отрицательно заряженных электронов, то при указанной на рис. 9.2 полярности подключения источника тока они двигаются против оси и отклоняются магнитной силой к к верхней грани. В соответствии с этим вектор напряженности поперечного электрического поля теперь направлен вдоль оси . Так как в этом случае  , из уравнения (9.9) следует, что разность потенциалов отрицательна.

Модуль разности потенциалов с учетом (9.13) определяется следующим равенством: Из сопоставления его с равенством (9.11) имеем:

                                       

Поскольку ,  а  , находим, что         (здесь - модуль плотности тока, - площадь поперечного сечения проводника,  - модуль заряда носителя тока, - концентрация носителей). Исключив  переменную  из двух последних равенств,  получим: . Отсюда немедленно следует физический смысл постоянной Холла. Решив это уравнение совместно с уравнением ,  по измеренным значениям постоянной Холла  и удельной проводимости можно найти значения концентрации  и подвижности и, соответственно, сделать определенные выводы  о природе носителей тока в проводнике.

9.5. Масс-спектрометр

Основываясь на законах движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, физики совместно с инженерами создали ряд приборов и устройств, которые имеют широкое применение в научных лабораториях и промышленности. К ним относятся масс-спектрометры, ускорители, магнитогидродинамические генераторы, а также ионизационные счетчики – приборы, используемые в числе прочих в ядерной физике для исследования заряженных микрочастиц. 

       Простейший масс-спектрометр, который по сути является масс-спектрографом, был сконструирован Ф. Астоном в 1999 г. В этом приборе положительно заряженные ионы проходит через две щелевые диафрагмы, в результате чего формируется параллельный пучок частиц (рис. 9.5). В однородном вертикальном электрическом поле плоского конденсатора ионы отклоняются в направлении вектора напряженности; при этом величина отклонения по вертикали зависит от скорости ионов и удельного заряда. Действительно,

                                               ,

где  – ускорение электрона в электрическом поле,  – время пролета иона через конденсатор. Очевидно,  , где  – длина пластин,  – скорость движения иона по горизонтали. Далее имеем:

                                       .

Легко видеть, что величина отклонения пропорциональна удельному заряду и квадрату скорости.  Поэтому параллельный пучок ионов, пролетая через конденсатор, разделится на ряд пучков, соответствующих различным значениям удельного заряда и скорости.  Для упрощения рассуждений на рис. 9.5 изображены траектории движения лишь двух пучков частиц, отличающихся значением .

       Далее ионы попадают в однородное магнитное поле и движутся в нем по дугам окружностей, радиусы которых пропорциональны скорости  и обратно пропорциональны удельному заряду частицы. Величину индукции