Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гродненский государственный
университет имени Янки Купалы»
Факультет математики и информатики
Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики
аннотированные планы
ответов на вопросы программы государственного экзамена
по специальности «прикладная Математика»
по дисциплинам кафедры алгебры, геометрии
и методики преподавания математики
Гродно, 2008
Пояснительная записка
Предлагаемые планы ответов являются аннотированными. В них перечислены понятия и факты, составляющие основное содержание вопросов программы государственного экзамена. Необходимо уметь применять их для решения типовых задач по соответствующим дисциплинам. Студентам, претендующим на высокую оценку, необходимо также уметь доказывать, по меньшей мере, одну теорему из указанных в плане ответа (можно, например, провести доказательство теорем, подчеркнутых в тексте). При подготовке к экзамену кроме конспектов лекций можно использовать рекомендуемую литературу.
№ | Вопрос программы | Основные понятия, теоремы, факты | Навыки и умения |
19 | Прямая линия на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. | Различные виды уравнения прямой на плоскости и уравнений прямой и плоскости в пространстве. | Составление уравнений прямых и плоскостей. Построение прямых и плоскостей по заданным их уравнениям. |
План ответа
Прямая на плоскости: виды уравнения прямой на плоскости (каноническое уравнение, общее уравнение, параметрическое уравнение, уравнение прямой проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом); вывод уравнения прямой (например, канонического уравнения прямой); геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой, взаимное расположение двух прямых на плоскости (в зависимости от коэффициентов общего уравнения). Плоскость в пространстве: виды уравнения плоскости в пространстве(уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам, общее уравнение плоскости, параметрическое уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости в отрезках); вывод уравнения плоскости (например, уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам); геометрический смысл коэффициентов общего уравнения, взаимное расположение двух плоскостей (в зависимости от коэффициентов общего уравнения). Прямая в пространстве: виды уравнения прямой в пространстве, каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки); вывод уравнения прямой в пространстве (например, канонического уравнения); взаимное расположение двух прямых, заданных каноническим уравнением; взаимное расположение прямой, заданной каноническим уравнением и плоскости, заданной общим уравнением.
Рекомендуемая литература
, , Феденко и аналитическая геометрия. Ч.1. –Мн.: Амалфея,2001. -400с. Моденов геометрия. –М.: Изд. Моск. уни-т,1969. – 700с.
№ | Вопрос программы | Основные понятия, теоремы, факты | Навыки и умения |
20 | Кривые второго порядка. | Канонические уравнения кривых второго порядка. Свойства кривых второго порядка. | Составление уравнений кривых второго порядка. Исследование свойств и формы кривой по ее уравнению. |
План ответа
Эллипс: эллипс, фокусы эллипса; каноническое уравнение эллипса в декартовых прямоугольных координатах (с выводом); вершины и оси эллипса; эксцентриситет; оси симметрии и центр симметрии; директрисы эллипса. Гипербола: гипербола, фокусы гиперболы; каноническое уравнение гиперболы в декартовых прямоугольных координатах; вершина и оси гиперболы; эксцентриситет; оси симметрии и центр симметрии; директрисы гиперболы; асимптоты гиперболы. Парабола: парабола, фокус параболы, директриса параболы; каноническое уравнение параболы в прямоугольных декартовых координатах; вершина параболы; ось симметрии.
Рекомендуемая литература
, , Феденко и аналитическая геометрия. Ч.1. –Мн.: Амалфея,2001. -400с. Моденов геометрия. –М.: Изд. Моск. уни-т,1969. – 700с.
№ | Вопрос программы | Основные понятия, теоремы, факты | Навыки и умения |
21 | Группа, кольцо, поле. Кольцо полиномов над полем. | Теорема о существовании решения алгебраического уравнения (основная теорема алгебры). Теорема о разложении полинома на неприводимые множители. | Использование алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя полиномов. |
План ответа
Группа, кольцо, поле: группа, примеры групп, гомоморфизм групп, примеры гомоморфизмов групп, группа подстановок, теорема Кэлли; кольцо, примеры колец, гомоморфизм колец; поле, примеры полей. Кольцо многочленов над полем: многочлен от одной переменной с коэффициентами из поля, сложение и умножение многочленов; делимость нацело в кольце многочленов, наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов, взаимно простые многочлены, неприводимые многочлены, теорема о разложении многочлена на неприводимые множители, корен многочлена, основная теорема алгебры комплексных чисел.
Рекомендуемая литература
Фаддеев по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 415 с. Скорняков алгебры. – М.: Наука, 1986. – 240 с. Кострикин в алгебру. – М.: Наука, 1977. – 495 с. , , Феденко алгебра и аналитическая геометрия ч. I, II, 2001.
№ | Вопрос программы | Основные понятия, теоремы, факты | Навыки и умения |
22 | Векторные пространства и линейные операторы. | Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость и независимость векторов, базис. Линейные операторы. Матричная запись линейного оператора. Определители. Решение систем линейных уравнений. | Действия с матрицами. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений. |
План ответа
Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матрицы. Линейные пространства и линейные операторы: линейное пространство, примеры линейных пространств, линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, критерий линейной зависимости системы векторов, базис линейного пространства, координаты вектора конечномерного линейного пространства, размерность конечномерного линейного пространства, линейное отображение, линейный оператор и изоморфизм линейных пространств, матричная запись линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве. Определители: определитель n-го порядка, минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы, разложение определителя по элементам строки (столбца), определитель транспонированной матрицы, определитель матрицы с нулями в правом верхнем углу, определитель n-го порядка как алгебраическая сумма произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Системы линейных уравнений: система, состоящая из m линейных уравнений, от n неизвестных, решение системы линейных уравнений, совместная и несовместная системы линейных уравнений, матричная запись системы линейных уравнений, метод Гаусса решения системы линейных уравнений, теорема Крамера, ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли.
Рекомендуемая литература
Фаддеев по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 415 с. Скорняков алгебры. – М.: Наука, 1986. – 240 с. Кострикин в алгебру. – М.: Наука, 1977. – 495 с. , , Феденко алгебра и аналитическая геометрия ч. I, II, 2001.
№ | Вопрос программы | Основные понятия, теоремы, факты | Навыки и умения |
23 | Квадратичные формы. | Квадратичные формы, канонический вид квадратичной формы. Закон инерции действительных квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. | Приведение квадратичной формы к каноническому виду. |
План ответа
1. Квадратичные формы: квадратичная форма, матрица квадратичной формы, матричная запись квадратичной формы, эквивалентные квадратичные формы, каноническая запись квадратичной формы, теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду, пример приведения квадратичной формы к каноническому виду, нормальный вид квадратичной формы, закон инерции квадратичных форм, знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Рекомендуемая литература
Фаддеев по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 415 с. Скорняков алгебры. – М.: Наука, 1986. – 240 с. Кострикин в алгебру. – М.: Наука, 1977. – 495 с. , , Феденко алгебра и аналитическая геометрия ч. I, II, 2001.
Составители: , ,
