Общая характеристика (стр. 3 )

Существует множество факторов, которые необходимо учитывать при анализе трафика. Наиболее важные из этих факторов:

•        измерение нагрузки трафика

•        уровень обслуживания

•        типы трафика

•        методы измерения

Оценка прогнозируемой пропускной способности и качества обслуживания очень важный этап проектирования мультисервисных сетей. Выбор соответствующей модели трафика определяются критериями выбора, которые используют следующие параметры:

•        Модели поступления вызовов,

•        Наличие блокировки вызовов,

•        Количество источников,

•        Время удержания.

Выбор модели трафика должен как можно больше «покрывать» потребности сети. Существует множество различных моделей трафика – в основном они все называются моделями Эрланга различного типа. Каждая из этих моделей используется в определенных ситуациях. Все эти модели основаны на следующих предположениях – имеется неограниченное количество источников, сами модели случайного поступления трафика, имеются перенаправленные заблокированные вызовы, время удержания подчиняется экспоненциальному закону распределении. В диссертационной разработке использовалась модель Эрланга В для групп магистральных каналов без потерь повторных вызовов, так как абоненты перенаправляются или ожидается низкий коэффициент блокирования. Для вычисления модели трафика Эрланг В используется следующая формула:

 

где, В (с, а) — вероятность блокирования вызова;

с — количество каналов;

а — интенсивность трафика.

Это классическая Формула Эрланга В для системы массового обслуживания с отказами. Эта формулу мы преобразовываем в различных математических представлениях, чтобы было  удобно использовать для вычисления вероятности потерь нагрузки. В частности, приведены доказательства вычисления вероятности блокировки вызова через производные от функции нагрузки сети коммутации каналов. Формула Эрланга для удобства представляется в наших обозначениях и она принимает вид:

    (1)

Величина называется нагрузкой и ее интенсивность принято измерять в эрлангах. Доказательство вычисления вероятности блокировки вызова происходит через производные -го порядка функции, где - нагрузка сети коммутации каналов, - число обслуживающих вызовы каналов. Это рекуррентное соотношение формулы Эрланга подсчета вероятности потерь и представление этой формулы в интегральном виде. В начале доказывается следующая лемма.

Лемма 2.1. Для любых  и целых   выполняется следующее равенство

    (2)

при этом, без потери общности будем полагать, что

  ,    (3)

Доказательство. Раскрывая сумму левой части равенства (2) и вычисляя соответствующие производные, получим следующее выражение

что и требовалось доказать.

Затем доказывается следующая теорема:

Теорема 2.1. Для любых и целых   выполняется следующее равенство

    (4)

Доказательство. Утверждение данной теоремы доказано с помощью метода математической индукции. Легко проверить, что при равенство (3) выполняется. Предположим, что выражение (4) справедливо и для , то есть имеет место равенство

    (5)

Покажем, что оно справедливо и для . При выражение (4) запишется

    (6)

В силу леммы 2.1 будем иметь следующее (левую часть последнего равенства преобразуем, а правую его часть  заменяем выражением (2)

    (7)

Сделав несложные преобразования в последнем выражении, окончательно получили утверждение теоремы для предположения  тем самым считаем теорему 2.1 доказанной.

Из вышеуказанной теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 2.1. Формула Эрланга (1) эквивалентна следующей формуле

    (8)

Доказательство этого следствия мы опускаем, ввиду того, что формула (5) очевидна, если знаменатель дроби формулы (1) заменить соотношением (4).

Докажем следующее следствие.

Следствие 2.2. Имеет место рекуррентная формула подсчета вероятности блокировки

    (9)

Доказательство. Используя (9) для , а также - формулу (2), получим

    (10)

Далее, с учетом (1) и выражения (5)-(8) выражение (4) запишется как

    (11)

Подставив этот результат в выражение (10), получим

    (12)

Разделив числитель знаменатель этого равенства на величину , окончательно получим формулу (9), что и требовалось доказать.

Далее произведем следующие преобразования. Введем обозначение

    (13)

Нетрудно убедиться, что с другой стороны

    (14)

Из выражения (7) следует, что

    (15)

Теорема 2.2. Для всех и целых справедлива следующая формула

    (16)

Доказательство. Как и для теоремы 2.1 при доказательстве этой теоремы мы будем использовать метод математической индукции. Пусть , тогда с учетом равенства (15) и как следует из , получаем, что , то есть соотношение (16) при выполняется. Легко проверить, что при , равенство (16) выполняется. Допустим, что формула (16) справедлива и для , то есть выполняется равенство

    (17)

Покажем, что при , равенство (16) также выполняется. Для выражение (16) запишется

    (18)

Используя соотношения (2) и (14), выражение (18) принимает следующий вид

    (19)

или проведя несложные преобразования легко получить равенство (2.17), что и доказывает исходную теорему.

Заменяя в формуле (5) знаменатель дроби равенством (16), а также учитывая соотношение (13), мы получим формулу Эрланга в интегральном представлении

    (20)

Формула (13), в отличие от формулы (1), справедлива для любых произвольных значений  и представляет интерес для многих расчетов, не связанных с заданием целочисленности значений .