Фракталы (стр. 2 )

Рисунок 6 Этапы построения кривой Минковского

2. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАНННЫХ ФУНКЦИЙ

2. 1. Понятие метрики и метрического пространства

Понятие метрики, изначально возникшее в теории функций действительного переменного, сейчас играет огромную роль в различных разделах математики.  Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия как предел числовой последовательности (или функции) и. д. Теорию метрических пространств построил французский математик М. Фреше.

Пусть - произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика, если каждой паре элементов поставлено в соответствие единственное число , удовлетворяющее следующим условиям:

1) (аксиома неотрицательности)

2) (аксиома тождества);

3) (аксиома симметрии);

4) (аксиома треугольника);

Приведенные условия называются аксиомами метрического пространства.

Пара т. е. множество с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством.9

Замечание: всякое подмножество метрического пространства , рассматриваемое с тем же расстоянием между элементами, также является метрическим пространством и называется подпространством пространства .

Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств.

1. Пространство изолированных точек. Для произвольного множества введем функцию расстояния

Очевидно, введенная функция удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства.

2. Пространство действительных чисел . Метрика вводится следующим образом:

Данное пространство называют числовой прямой.

3. Пространство ( n-мерное Евклидово пространство) – множество упорядоченных наборов из действительных чисел

с метрикой

4. Пространство непрерывных на отрезке функций. Метрика вводится следующим образом:

Определение 1. Пусть — метрическое пространство. Говорят, что последовательность сходится к , если . Последовательность называется фундаментальной, если для найдётся такое, что для имеем . Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке этого пространства.

2. 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия

Пусть и – два метрических пространства с метриками и соответственно, а – отображение пространства в , то есть каждому ставится в соответствие некоторый элемент .

Часто отображения пространств называются операторами, функционалами или функциями, что отражает их природу – действие, переводящее элемент из одного пространство в другое.

Одной из центральных тем анализа является поиск условий разрешимости уравнения

(здесь элемент задан, а элемент неизвестен), а также построение его точных и приближенных решений. Это уравнение называется операторным уравнением первого рода.